Anhang C — Probeklausur

Schlüsselwörter

Statistik, Prognose, Modellierung, R, Datenanalyse, Regression

Siehe diese Prüfungshinweise und alle weiteren Hinweise.

Sie vergleichen zwei Datensätze, die identische Mittelwerte und Standardabweichungen aufweisen. Das Streudiagramm zeigt jedoch beim ersten Datensatz eine Wolke und beim zweiten eine Dinosaurier-Form. Welche Erkenntnis aus Anscombes Quartett lässt sich hier anwenden? Betrachten Sie die Grenzen rein numerischer Kennzahlen.

Statistische Kennzahlen allein können die Struktur von Daten verhüllen.Der Korrelationskoeffizient ändert sich durch die Form der Punktwolke zwingend.Visualisierungen dienen nur der Illustration, nicht der Erkenntnis.Mittelwerte sind bei visuellen Mustern grundsätzlich nicht aussagekräftig.Ein Dinosaurier im Diagramm deutet immer auf einen Rechenfehler hin.

Anscombes Quartett und der „Datasaurus“ zeigen, dass völlig unterschiedliche Datenstrukturen dieselben Kennwerte haben können. Nur eine Visualisierung macht diese Unterschiede sichtbar.

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Sie arbeiten mit einem Datensatz über Kunden. Die Variable geschlecht ist nominalskaliert. Was ist die sinnvollste Operation, wenn Sie wissen wollen, wie viele Männer und Frauen im Datensatz sind?

arrange(geschlecht)summarise(mean(geschlecht))mutate(anteil = geschlecht / sum(geschlecht))count(geschlecht)filter(geschlecht == "alle")

Bei nominalen Daten ist das Zählen der Häufigkeiten die Standardoperation. count() ist dafür die effizienteste Funktion.

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Sie erstellen einen Vektor mit folgendem Befehl: test_vektor <- c(1, "2", 3). Was passiert, wenn Sie versuchen, den Mittelwert mit mean(test_vektor) zu berechnen?

R löscht die “2” und berechnet den Mittelwert aus 1 und 3.R berechnet den Mittelwert 2.R gibt eine Fehlermeldung aus, dass Vektoren keine unterschiedlichen Datentypen enthalten dürfen.R gibt NA zurück, da der Vektor durch die Anführungszeichen bei der “2” zu einem Text-Vektor (character) wurde.R erkennt die Zahl in den Anführungszeichen automatisch und berechnet den Mittelwert 2.

In R müssen alle Elemente eines Vektors denselben Typ haben. Wenn Text (“2”) enthalten ist, werden auch die Zahlen als Text gespeichert. Arithmetische Funktionen wie mean() können auf Text-Vektoren nicht angewendet werden und liefern NA (mit einer Warnung).

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Was ist das entscheidende Merkmal eines “Punktmodells” in der Statistik? Denken Sie an die Anzahl der vorhergesagten Werte.

Es verbindet alle Datenpunkte mit einer komplexen Kurve.Es berechnet für jede einzelne Beobachtung eine individuelle Gerade.Es kann nur für Daten verwendet werden, die als Koordinaten (X/Y) vorliegen.Es sagt für alle Beobachtungen ein und denselben Wert vorher.Es löscht alle Datenpunkte, die nicht genau auf dem Mittelwert liegen.

Ein Punktmodell fasst eine Wertereihe zu einer einzigen Zahl zusammen. Jede Person erhält somit die gleiche Vorhersage, unabhängig von anderen Merkmalen.

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Wie greifen Sie mit dem Dollar-Operator auf die Spalte „Note“ in einer Tabelle namens „Ergebnisse“ zu?

Ergebnisse$NoteErgebnisse->Note$Ergebnisse$NoteErgebnisse(Note)Note$Ergebnisse

Der Dollar-Operator trennt den Namen der Tabelle vom Namen der gewünschten Spalte (Tabelle$Spalte).

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Sie möchten in einem Datensatz nur die Spiele finden, die weniger als 50 Euro kosten und gleichzeitig neuwertig sind. Welche logische Verknüpfung innerhalb der Funktion filter() ist hierfür zwingend erforderlich? Ein falscher Operator würde entweder zu viele oder gar keine Ergebnisse liefern. Denken Sie an die Mengenlehre beim Filtern von Beobachtungen.

Ein Ausrufezeichen !, um die teuren Spiele explizit auszuschließen.Die Funktion select(), da man zuerst die Spalten einschränken muss.Der Operator | (ODER), da es egal ist, welche Bedingung zuerst erfüllt ist.Das einfache Gleichheitszeichen =, um den Wert zuzuweisen.Der Operator & (UND), um beide Bedingungen gleichzeitig zu prüfen.

Um Zeilen zu finden, die mehrere Kriterien gleichzeitig erfüllen müssen, nutzt man das logische UND (&). Das ODER (|) würde auch gebrauchte Spiele oder teure neue Spiele anzeigen.

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Sie nutzen eine Funktion mit folgenden Argumenten: f(x, y = 10). Was passiert, wenn Sie die Funktion mit f(5) aufrufen?

R setzt x auf 5 und y auf NA.R führt die Funktion aus und nutzt für x den Wert 5 und für y den voreingestellten Wert 10.R gibt eine Fehlermeldung aus, da das Argument y fehlt.R setzt sowohl x als auch y auf 5.R ignoriert das Argument y komplett und berechnet nur das Ergebnis für x.

Argumente mit Gleichheitszeichen in der Funktionsdefinition (hier y = 10) sind Defaults (Voreinstellungen). Werden sie beim Aufruf nicht angegeben, nutzt R automatisch den Standardwert.

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Warum kann ein gruppiertes Mittelwert-Modell (z. B. getrennt nach Geschlecht) besser sein als ein ungruppierter Mittelwert? Beziehen Sie sich auf die Fehlerbalken (Residuen).

Weil ein gruppiertes Modell immer weniger Rechenleistung benötigt.Weil der Median einer Gruppe immer identisch mit dem globalen Mittelwert ist.Weil R-Befehle wie group_by automatisch alle Ausreißer aus den Daten löschen.Weil man bei Gruppierungen keine Standardabweichung mehr berechnen muss.Weil die Abweichungen (Residuen) zum jeweiligen Gruppenmittelwert im Schnitt kleiner sein können als zum globalen Mittelwert.

Durch die Berücksichtigung einer Gruppierung (z. B. \(y \sim G\)) passt sich das Modell besser an die Daten an. Dies führt dazu, dass die Vorhersagefehler innerhalb der Gruppen oft deutlich sinken.

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Sie betrachten ein Modell mit einer Interaktion: y ~ x1 + x2 + x1:x2. In der Visualisierung stellen Sie fest, dass die Regressionsgeraden für verschiedene Gruppen von x2 nicht parallel verlaufen. Was bedeutet dieser Befund für die Interpretation der Effekte? Nutzen Sie die Analogie von „Schalter“ und „Dimmer“.

Es liegt ein Simpson-Paradox vor, da die Geraden sich schneiden.Das R-Quadrat ist bei nicht-parallelen Geraden immer gleich Null.Die Variable x2 hat keinen eigenen Einfluss auf die Zielvariable y.Das Modell leidet unter massivem Overfitting und ist unbrauchbar.Der Effekt von x1 auf y hängt von der Ausprägung von x2 ab.

Nicht-parallele Geraden sind das grafische Kennzeichen eines Interaktionseffekts. Dies bedeutet, dass es keinen einheitlichen Effekt der UV gibt, sondern dieser je nach Gruppe variiert.

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Sie betrachten den Zusammenhang zwischen „Lernzeit“ und „Freizeit“ bei Studierenden. In der Regel gilt: Je mehr jemand lernt, desto weniger Freizeit hat er zur Verfügung. Welches Ergebnis erwarten Sie für den Korrelationskoeffizienten r in einer entsprechenden Untersuchung? Übertragen Sie die inhaltliche Beschreibung auf das Vorzeichen und den Wertebereich von r.

r wird deutlich größer als +1 sein.r wird einen Wert zwischen -1 und 0 annehmen.r wird exakt 0 betragen, da kein Zusammenhang besteht.r wird einen Wert zwischen 0 und +1 annehmen.r kann nicht berechnet werden, da Freizeit eine qualitative Variable ist.

Ein gegensinniger Zusammenhang (viel von X, wenig von Y) führt mathematisch zu einer negativen Korrelation.

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Ein Forscher untersucht den Zusammenhang zwischen dem monatlichen Einkommen (in Euro) und der Lebenszufriedenheit. Er beschließt nun, das Einkommen für seine nächste Veröffentlichung in Cent statt in Euro anzugeben. Welche statistische Kennzahl wird sich durch diese Änderung der Skalierung massiv verändern? Betrachten Sie die mathematische Definition von Kovarianz und Korrelation.

Das Vorzeichen des Zusammenhangs.Die z-standardisierten Werte der Zufriedenheit.Die Anzahl der Freiheitsgrade der Analyse.Die Kovarianz zwischen Einkommen und Zufriedenheit.Der Korrelationskoeffizient r nach Pearson.

Die Kovarianz ist abhängig von der Skalierung der Variablen. Da das Einkommen nun mit dem Faktor 100 multipliziert wird, steigt auch die Kovarianz an, während die Korrelation (r) skaleninvariant bleibt.

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Das “Lego-Prinzip” im Datenjudo besagt, dass man komplexe Analysen in kleine Teilschritte zerlegen sollte. Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Nachteil, wenn man dieses Prinzip NICHT beachtet und stattdessen riesige, verschachtelte Funktionen schreibt?

R kann verschachtelte Funktionen technisch nicht verarbeiten.Die Ergebnisse werden mathematisch ungenau.Verschachtelte Funktionen verbrauchen deutlich mehr Arbeitsspeicher.Das Tidyverse funktioniert nur mit maximal zwei Funktionen pro Zeile.Der Code wird schwerer lesbar und Fehler sind schwieriger zu finden.

Die Zerlegung in Teilschritte (Lego-Prinzip) dient primär der Übersichtlichkeit und der Fehlervermeidung. Verschachtelter Code ist für Menschen sehr schwer zu interpretieren.

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Was ist das Ergebnis der Logikprüfung x <- 5; x == 6?

65FALSETRUER gibt eine Fehlermeldung aus, da x bereits als 5 definiert wurde.

Der Befehl x <- 5 weist der Variable den Wert 5 zu. Die Prüfung x == 6 fragt R: “Ist der Inhalt von x gleich 6?”. Da dies nicht der Fall ist, ist das Ergebnis der logische Wert FALSE.

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Vier Abweichungen von einem Mittelwert betragen: 1, -3, 1 und 1. Wie hoch ist der Mean Absolute Error (MAE) für diese Daten? Wenden Sie die Definition der mittleren Absolutabweichung an. Beachten Sie den Umgang mit negativen Vorzeichen.

021,51,256

Der MAE berechnet sich aus der Summe der Absolutbeträge der Fehler geteilt durch n. Hier: (1 + 3 + 1 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1,5.

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Was passiert standardmäßig, wenn Sie die Funktion mean() auf einen Vektor anwenden, der mindestens ein NA enthält?

R ersetzt das NA automatisch durch den Wert 0.R gibt als Ergebnis NA zurück.R berechnet den Mittelwert aus den restlichen vorhandenen Werten.R löscht den gesamten Vektor aus dem Environment.R gibt eine Fehlermeldung aus und bricht die Berechnung ab.

Im Standard liefert mean() NA zurück, um den Nutzer darauf aufmerksam zu machen, dass Daten fehlen. Um dies zu ändern, muss das Argument na.rm = TRUE gesetzt werden.

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Sie haben ein Modell lm1 (nur Mittelwert) und ein Modell lm2 (mit einer UV). In R liefert mae(lm1) den Wert 10 und mae(lm2) den Wert 7,4. Wie beurteilen Sie die Veränderung der Modellgüte?

Man kann die Modelle nicht vergleichen, da die Skalierung unterschiedlich ist.Ein MAE von 7,4 bedeutet, dass das Modell zu 74 % korrekt ist.Das zweite Modell ist besser, da der durchschnittliche Vorhersagefehler gesunken ist.Die Güte hat sich verschlechtert, da der MAE gesunken ist.Das erste Modell ist besser, da größere Fehler für die Forschung nützlicher sind.

Ein geringerer MAE bedeutet kürzere Fehlerbalken. Je kleiner der Fehler, desto höher ist die Modellgüte.

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Angenommen, Sie haben eine Spalte preis_usd. Sie möchten eine neue Spalte preis_euro hinzufügen, ohne die alte Spalte zu löschen. Welches Verb ist hierfür geeignet?

rename()arrange()mutate()summarise()select()

mutate() wird verwendet, um neue Spalten zu berechnen oder bestehende zu verändern. Die Anzahl der Zeilen bleibt dabei immer gleich.

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Ein Datensatz umfrage enthält eine Spalte alter mit den Werten c(20, 25, NA, 30). Welcher der folgenden Befehle führt dazu, dass R einen numerischen Wert für den Mittelwert ausgibt, anstatt NA?

mean(na.omit(umfrage))mean(umfrage$alter, remove = "NA")mean(umfrage$alter, na.rm = TRUE)mean(umfrage$alter, na.rm = FALSE)mean(umfrage$alter)

Standardmäßig geben viele Funktionen in R NA zurück, wenn nur ein fehlender Wert vorhanden ist. Das Argument na.rm = TRUE (NA remove) weist R an, die fehlenden Werte für die Berechnung zu ignorieren.

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Sie finden eine negative Steigung (\(\beta_1 < 0\)) in einem Modell zum Zusammenhang von “Fehlzeiten” (x) und “Prüfungsnote” (y). Die Note wird als Punktzahl gemessen (höher ist besser). Was sagt dieses Modell über den Zusammenhang aus? Interpretieren Sie die Richtung der Regressionsgeraden.

Mit jeder zusätzlichen Fehlstunde sinkt die vorhergesagte Punktzahl.Wer mehr fehlt, erreicht tendenziell eine bessere Note.Die Vorhersagefehler werden durch die Fehlzeiten größer.Der Achsenabschnitt des Modells muss negativ sein.Die Fehlzeiten haben keinen Einfluss auf die Note.

Eine negative Steigung bedeutet einen gegensinnigen Zusammenhang. Steigt die eine Variable (Fehlzeiten), sinkt die Vorhersage für die andere (Punkte).

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Gegeben ist eine normalverteilte Variable (IQ) mit einem Mittelwert von 100 und einer Streuung von 15. Ein Student erzielt einen Wert von 130 Punkten. Welcher Anteil der Bevölkerung liegt laut der 68-95-99.7-Prozentregel über diesem Wert? Kombinieren Sie das Wissen über die Standardabweichung mit der Flächenverteilung.

ca. 34 %ca. 0,15 %ca. 2,5 %ca. 5 %ca. 16 %

Ein Wert von 130 entspricht dem Mittelwert plus zwei Standardabweichungen. Innerhalb von zwei Standardabweichungen liegen 95 %, außerhalb also 5 %. Da die Verteilung symmetrisch ist, entfallen 2,5 % auf den Bereich über 130.

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Ein Forscher stellt fest, dass ein Geradenmodell genau die gleiche Vorhersagegüte (MSE) liefert wie ein Punktmodell (Nullmodell). Welche Eigenschaft muss der Zusammenhang zwischen x und y in diesem Fall haben? Betrachten Sie die Rolle des Prädiktors im Modell.

Alle Datenpunkte liegen exakt auf einer ansteigenden Geraden.Der Achsenabschnitt des Modells muss Null sein.Der Prädiktor x hat eine sehr hohe Standardabweichung.Es besteht kein linearer Zusammenhang zwischen x und y (Korrelation r = 0).Der Korrelationskoeffizient r beträgt exakt 1,0.

Wenn ein Prädiktor keine Information liefert, verbessert sich der Fehler gegenüber dem Mittelwert (Nullmodell) nicht. Das R-Quadrat ist Null und die Korrelation ebenfalls.

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Ein Modell zur Vorhersage von Hauspreisen erzielt im Train-Sample ein R-Quadrat von 0,95. Im Test-Sample sinkt das R-Quadrat jedoch auf 0,15. Welches statistische Phänomen erklärt diesen drastischen Abfall am wahrscheinlichsten? Überlegen Sie, warum hoch-idiografische Informationen wie „Hausnummer“ problematisch sein könnten.

Fehlende ZentrierungMultikolinearitätSimpson-ParadoxRange RestrictionOverfitting

Wenn ein Modell Muster im Train-Sample „auswendig lernt“, die in neuen Daten nicht existieren, spricht man von Overfitting. Besonders Variablen mit sehr vielen Ausprägungen (wie Titel oder IDs) begünstigen diesen Effekt.

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Sie nutzen die Pfeife |> um mehrere Befehle zu verketten. Was ist der entscheidende Vorteil dieser Schreibweise gegenüber verschachtelten Funktionen wie f(g(h(x)))? Betrachten Sie den Lesefluss und die Fehleranfälligkeit bei vielen Klammern.

Die Pfeife leitet das Ergebnis des vorherigen Schritts als erstes Argument in die nächste Funktion weiter.Die Pfeife ersetzt die Notwendigkeit, Pakete mit library() zu laden.Die Pfeife löscht automatisch alle NA Werte während der Transformation.Mit der Pfeife können Funktionen kombiniert werden, die normalerweise nicht kompatibel sind.Die Pfeife sorgt dafür, dass R den Code deutlich schneller berechnet.

Die Pfeife (|> oder %>%) verbessert die Lesbarkeit, indem sie Daten wie am Fließband von links nach rechts durch Funktionen reicht. Das erste Argument der nachfolgenden Funktion wird dabei automatisch befüllt.

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Ein Marktforscher möchte untersuchen, ob sich die Kaufbereitschaft (metrisch) zwischen drei Altersgruppen unterscheidet. Welches Diagramm ist laut der Nomenklatur für diesen „Unterschied“ bei einer quantitativen Variable am besten geeignet? Es geht um den effizienten Vergleich von Verteilungen.

Streudiagramm (Scatterplot)BoxplotHistogramm für den gesamten DatensatzTortendiagrammEinfaches Balkendiagramm der Häufigkeiten

Laut der Nomenklatur ist der Boxplot das Standardwerkzeug, um Unterschiede einer quantitativen Variable zwischen Gruppen zu zeigen.

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Warum verbringen Datenwissenschaftler laut Harvard Business Review oft 80% ihrer Zeit mit Datenjudo?

Weil die Visualisierung der Daten erst nach dem Erstellen der Modelle erlaubt ist.Weil das Erlernen der R-Syntax 80% der Arbeitszeit beansprucht.Weil die statistischen Modelle in R nur sehr langsam berechnet werden.Weil Rohdaten oft unordentlich sind, Tippfehler enthalten oder umgeformt werden müssen.Weil die meisten Daten bereits im Tidy-Format vorliegen und geprüft werden müssen.

Daten in der echten Welt sind selten “sauber”. Das Aufbereiten, Bereinigen und Umformen ist der zeitintensivste Teil der Datenanalyse.

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Gegeben ist die Gleichung \(y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + \epsilon_i\). Ein Student hat laut Modell einen vorhergesagten Wert von 80 Punkten (\(\hat{y} = 80\)). Tatsächlich hat er in der Klausur aber 85 Punkte erreicht (\(y = 85\)). Wie groß ist das Residuum (\(\epsilon\)) für diesen Studenten? Nutzen Sie die Formel für den Vorhersagefehler.

Das Residuum kann nicht berechnet werden, da \(\beta_0\) fehlt.582,5-5165

Das Residuum ist definiert als beobachteter Wert minus vorhergesagter Wert: \(e = y - \hat{y}\). Hier: 85 - 80 = 5.

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Ein Datensatz weist einen sehr extremen Ausreißer auf. Welches Streuungsmaß ist in dieser Situation am ehesten zu empfehlen, um ein verzerrtes Bild zu vermeiden? Nutzen Sie das Konzept der Robustheit.

VarianzStandardabweichung (SD)Spannweite (Range)Root Mean Squared Error (RMSE)Interquartilsabstand (IQR)

Der IQR basiert auf Quantilen (Q3 - Q1) und ignoriert die extremen Ränder der Verteilung. Dadurch bleibt er stabil, selbst wenn einzelne Werte extrem abweichen.

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Warum wird in der Statistik die Standardabweichung (SD) oft der Varianz vorgezogen, wenn es um die Beschreibung von Daten geht? Betrachten Sie die mathematische Transformation bei der Berechnung der SD. Überlegen Sie, was mit der Maßeinheit der Daten passiert.

Die Varianz kann niemals für normalverteilte Daten berechnet werden.Die SD besitzt wieder die gleiche Größenordnung und Maßeinheit wie die Originaldaten.Die SD ist immer kleiner als der Mittelwert der Daten.R kann die Varianz technisch nicht direkt berechnen.Die SD ist robuster gegenüber Ausreißern als die Varianz.

Die Varianz nutzt quadrierte Abweichungen, was die Einheit verändert (z. B. Quadrat-Euro). Durch das Wurzelziehen bei der SD kehrt man zur ursprünglichen Einheit (z. B. Euro) zurück.

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Bei der Analyse von Pinguinen zeigt sich ohne Berücksichtigung der Spezies ein negativer Zusammenhang von Schnabellänge und -tiefe. Sobald die Variable „Spezies“ ins Modell aufgenommen wird, kehrt sich der Zusammenhang in jeder Gruppe ins Positive um. Wie wird dieser Effekt in der Fachsprache genannt?

Simpson-ParadoxInteraktionseffektRegression zur MitteKausalitäts-BiasDummy-Transformation

Das Simpson-Paradox beschreibt die Situation, in der ein Zusammenhang auf Gesamtebene durch die Aufteilung in Untergruppen umgekehrt wird. Es zeigt, wie wichtig die Auswahl der richtigen UVs ist.

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Welche Richtlinie gilt für die Aufnahme von Variablen in ein Prognosemodell, wenn maximale Güte das Ziel ist? Nutzen Sie die Empfehlungen nach Gelman et al. (2021).

Man sollte nur Variablen mit einem CI von Null berücksichtigen.Man sollte grundsätzlich alle verfügbaren Variablen aufnehmen („All-in“).Man sollte Variablen aufnehmen, die vermutlich Ursachen der Zielvariable sind.Man sollte Interaktionen nur dann nutzen, wenn die UVs schwache Effekte haben.Man sollte auf nominale Variablen komplett verzichten.

Gelman empfiehlt unter anderem, mutmaßliche Ursachen aufzunehmen. Zudem sind UVs mit präzisen Schätzungen (kleines CI) für die Güte förderlich.

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