Lösungen zu den Aufgaben

1. Aufgabe

   Gibt es einen Zusammenhang zwischen “Rauchen” und “Gesundheit”? Berechnen Sie das Odds Ratio von Gesundheit (zu Krankheit) von Nichtrauchern (im Verhältnis zu Rauchern!) in diesen fiktiven Daten.

   Raucher	krank	gesund
   TRUE	24	1619
   FALSE	173	1321

   
   

   Lösung

   z1 <- 1321
   z2 <- 173
   z3 <- 1619
   z4 <- 24
   Chance_Raucher_gesund <- (z1/z2)
   Chance_NRaucher_gesund <- (z3/z4)
   OR <- Chance_NRaucher_gesund / Chance_Raucher_gesund
   
   OR

   ## [1] 8.834437

   Die Chance Chance von “gesund zu krank” ist bei Nicht-Rauchern fast 9 mal so hoch wie bei Rauchern.

   
   

2. Aufgabe

   Werten Sie die Häufigkeiten (der Stufen) folgender Variablen aus wie unten beschrieben.

   Datensatz: mtcars.

   Variablen:

   • am
   • cyl
   • vs
   1. Erstellen Sie für jede der genannten Variablen eine univariate Häufigkeitsanalyse (also nur eine Variable).
   2. Erstellen Sie dann für die ersten beiden genannten Variablen eine gemeinsame Häufigkeitsanalyse (bivariat).
   3. Erstellen Sie dann für alle genannten Variablen eine gemeinsame Häufigkeitsanalyse.
   4. Wie viele Gruppen (also Häufigkeitswerte) ergeben sich (theoretisch) in der letzten Auswertung?
   
   

   Lösung

   library("tidyverse")
   data("mtcars")

   1. univariate Häufigkeitsanalyse

   mtcars %>% 
     group_by(am) %>% 
     summarise(zeilen_n = n())

   ## # A tibble: 2 × 2
   ##      am zeilen_n
   ##   <dbl>    <int>
   ## 1     0       19
   ## 2     1       13

   Der Befehle n() gibt die Anzahl der Zeilen (Reihen) zurück. Da in einem Dataframe alle Zeilen gleich lang sind, brauchen wir keine Spalte anzugeben.

   Alternativ könnte man auch schreiben:

   mtcars %>% 
     count(am)

   ##   am  n
   ## 1  0 19
   ## 2  1 13

   Das ist haargenau der gleiche Effekt wie die vorherige Syntax.

   Üblich ist auch, eine Kontingenztabelle so darzustellen:

   2. gemeinsame Häufigkeitsanalyse (bivariat)

   mtcars %>% 
     count(am, cyl)

   ##   am cyl  n
   ## 1  0   4  3
   ## 2  0   6  4
   ## 3  0   8 12
   ## 4  1   4  8
   ## 5  1   6  3
   ## 6  1   8  2

   table(mtcars$am, mtcars$cyl)

   ##    
   ##      4  6  8
   ##   0  3  4 12
   ##   1  8  3  2

   Wir sehen, dass wir $2\cdot3=6$ Gruppen haben, in denen sich die $n=32$ Beobachtungen aufteilen.

   3. Häufigkeitsanalyse mit 3 Variablen

   mtcars %>% 
     count(am, cyl, vs)

   ##   am cyl vs  n
   ## 1  0   4  1  3
   ## 2  0   6  1  4
   ## 3  0   8  0 12
   ## 4  1   4  0  1
   ## 5  1   4  1  7
   ##  [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 2 rows ]

   Das sind drei Variablen mit $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ Gruppen.

   Da einige der 12 Gruppen in den Daten nicht vorkommen, sind sie in der Auszählung der Häufigkeiten nicht aufgenommen; in den Daten gibt es nur 7 der 12 Gruppen.

   
   

3. Aufgabe

   Betrachten Sie die Balkendiagramme. Welche Balkendiagramm zeigt den stärksten Zusammenhang?

   

   
   
   1. A
   2. B
   3. C
   4. keine Antwort möglich
   
   

   Lösung

   1. Falsch
   2. Falsch
   3. Wahr
   4. Falsch
   
   

4. Aufgabe

   Viele Quellen berichten Klimadaten unserer Erde, z.B. auch National Aeronautics and Space Administration - Goddard Institute for Space Studies.

   Von dieser Quelle beziehen wir diesen Datensatz.

   Die Datensatz sind auf der Webseite wie folgt beschrieben:

   Tables of Global and Hemispheric Monthly Means and Zonal Annual Means

   Combined Land-Surface Air and Sea-Surface Water Temperature Anomalies (Land-Ocean Temperature Index, L-OTI)

   The following are plain-text files in tabular format of temperature anomalies, i.e. deviations from the corresponding 1951-1980 means.

   Global-mean monthly, seasonal, and annual means, 1880-present, updated through most recent month: TXT, CSV

   Starten Sie zunächst das R-Paket tidyverse falls noch nicht geschehen.

   library(tidyverse)

   Importieren Sie dann die Daten:

   data_path <- "https://data.giss.nasa.gov/gistemp/tabledata_v4/GLB.Ts+dSST.csv"
   d <- read_csv(data_path, skip = 1)

   Wir lassen die 1. Zeile des Datensatzes aus (Argument skip), da dort Metadaten stehen, also keine Daten, sondern Informationen (Daten) zu den eigentlichen Daten.

   Aufgabe

   Berechnen Sie die folgende Statistiken pro Dekade:

   • Mittelwert der Temperatur im Januar
   • SD der Temperatur im Januar

   Hinweise:

   • Sie müssen zuerst die Dekade als neue Spalte berechnen.
   
   

   Lösung

   Dekade berechnen:

   d <-
     d %>% 
     mutate(decade = round(Year/10))

   Statistiken pro Dekade:

   d_summarized <- 
     d %>% 
     group_by(decade) %>% 
     summarise(temp_mean = mean(Jan),
               temp_sd = sd(Jan))
   
   d_summarized

   decade	temp_mean	temp_sd
   188	−0.19	0.24
   189	−0.43	0.22
   190	−0.26	0.16
   191	−0.39	0.22
   192	−0.28	0.15
   193	−0.14	0.21
   194	0.03	0.21
   195	−0.05	0.18
   196	0.03	0.15
   197	−0.07	0.17
   198	0.21	0.19
   199	0.36	0.13
   200	0.52	0.19
   201	0.64	0.20
   202	0.96	0.14

   Zur Veranschaulichung visualisieren wir die Ergebnisse:

   

   
   

5. Aufgabe

   Viele Quellen berichten Klimadaten unserer Erde, z.B. auch National Aeronautics and Space Administration - Goddard Institute for Space Studies.

   Von dieser Quelle beziehen wir diesen Datensatz.

   Die Datensatz sind auf der Webseite wie folgt beschrieben:

   Tables of Global and Hemispheric Monthly Means and Zonal Annual Means

   Combined Land-Surface Air and Sea-Surface Water Temperature Anomalies (Land-Ocean Temperature Index, L-OTI)

   The following are plain-text files in tabular format of temperature anomalies, i.e. deviations from the corresponding 1951-1980 means.

   Global-mean monthly, seasonal, and annual means, 1880-present, updated through most recent month: TXT, CSV

   Starten Sie zunächst das R-Paket tidyverse falls noch nicht geschehen.

   library(tidyverse)

   Importieren Sie dann die Daten:

   data_path <- "https://data.giss.nasa.gov/gistemp/tabledata_v4/GLB.Ts+dSST.csv"
   d <- read_csv(data_path, skip = 1)

   Wir lassen die 1. Zeile des Datensatzes aus (Argument skip), da dort Metadaten stehen, also keine Daten, sondern Informationen (Daten) zu den eigentlichen Daten.

   Aufgaben

   • Berechnen Sie die die Korelation der Temperatur von Januar und Februar
   • Berechnen Sie die die Korelation der Temperatur von Januar und Februar pro Dekade

   Hinweise:

   • Sie müssen zuerst die Dekade als neue Spalte berechnen.
   
   

   Lösung

   Dekade berechnen:

   d <-
     d %>% 
     mutate(decade = round(Year/10))

   Korrelation:

   d %>% 
     summarise(temp_cor = cor(Jan, Feb))

   ## # A tibble: 1 × 1
   ##   temp_cor
   ##      <dbl>
   ## 1    0.940

   Korrelation pro Dekade:

   d_summarized <- 
     d %>% 
     group_by(decade) %>% 
     summarise(temp_cor = cor(Jan, Feb))

   decade	temp_cor
   188	0.88
   189	0.79
   190	0.52
   191	0.84
   192	0.82
   193	0.72
   194	0.50
   195	0.78
   196	0.56
   197	0.79
   198	0.80
   199	0.54
   200	0.57
   201	0.67
   202	0.95

   

   Die Korrelation der Temperaturen und damit die Ähnlichkeit der Muster hat im Laufe der Dekaden immer mal wieder geschwankt.

   
   

6. Aufgabe

   Viele Quellen berichten Klimadaten unserer Erde, z.B. auch National Aeronautics and Space Administration - Goddard Institute for Space Studies.

   Von dieser Quelle beziehen wir diesen Datensatz.

   Die Datensatz sind auf der Webseite wie folgt beschrieben:

   Tables of Global and Hemispheric Monthly Means and Zonal Annual Means

   Combined Land-Surface Air and Sea-Surface Water Temperature Anomalies (Land-Ocean Temperature Index, L-OTI)

   The following are plain-text files in tabular format of temperature anomalies, i.e. deviations from the corresponding 1951-1980 means.

   Global-mean monthly, seasonal, and annual means, 1880-present, updated through most recent month: TXT, CSV

   Starten Sie zunächst das R-Paket tidyverse falls noch nicht geschehen.

   library(tidyverse)

   Importieren Sie dann die Daten:

   data_path <- "https://data.giss.nasa.gov/gistemp/tabledata_v4/GLB.Ts+dSST.csv"
   d <- read_csv(data_path, skip = 1)

   Wir lassen die 1. Zeile des Datensatzes aus (Argument skip), da dort Metadaten stehen, also keine Daten, sondern Informationen (Daten) zu den eigentlichen Daten.

   Aufgaben

   • Erstellen Sie für jeden Januar eine Variable (temp_is_above), die ausgibt, ob die Temperatur über oder unter dem Durchschnitt liegt (d.h. eine negative oder positive Abweichung ist). Nutzen Sie als Ausprägungen die Werte “yes” und “no”.
   • Erstellen Sie dann eine Variable, die das Jahrhundert angibt (19. JH. vs. 20 JH).
   • Zählen Sie dann wie oft temp_is_above “yes” aufweist pro Jahrhundert (“erhöhter Temperatur”).
   • Berechnen Sie das Odds Ratio (Chancenverhältnis) von erhöhter Temperatur (vs. nicht erhöhter Temperatur) zwischen dem 19. und dem 20. Jahrhundert.

   Für “Wenn-Dann-Abfragen” eignet sich folgender R-Befehl (als “Pseudocode” dargestellt):

   d %>% 
     mutate(neue_spalte = case_when(
       erste_bedingung_bzw_wenn_teil ~ dann_teil1,
       zweite_bedingung_bzw_zweiter_wenn_teil ~ dann_teil2
     ))

   
   

   Lösung

   temp_is_above erstellen:

   d <-
     d %>% 
     mutate(temp_is_above = case_when(
       Jan > 0 ~ "yes",
       Jan <= 0 ~ "no"
     ))

   Jahrhundert berechnen:

   d <-
     d %>% 
     mutate(century = case_when(
       Year < 1900 ~ "19th",
       Year >= 1900 ~ "20th"
     ))

   Erhöhte Werte der Januar-Temperatur pro Jahrhundert berechnen:

   d_summarized <- 
   d %>% 
     group_by(century) %>% 
     count(temp_is_above)
   
   d_summarized

   ## # A tibble: 4 × 3
   ## # Groups:   century [2]
   ##   century temp_is_above     n
   ##   <chr>   <chr>         <int>
   ## 1 19th    no               19
   ## 2 19th    yes               1
   ## 3 20th    no               56
   ## 4 20th    yes              67

   Der Befehl count() zählt aus, wie häufig die Ausprägungen der angegebenen Variablen X sind, m.a.W. er gibt die Verteilung von X wieder.

   Es macht vermutlich Sinn, noch die Anteile (relative Häufigkeiten) zu den absoluten Häufigkeiten zu ergänzen:

   d_summarized %>% 
     mutate(prop = n / sum(n))

   ## # A tibble: 4 × 4
   ## # Groups:   century [2]
   ##   century temp_is_above     n  prop
   ##   <chr>   <chr>         <int> <dbl>
   ## 1 19th    no               19 0.95 
   ## 2 19th    yes               1 0.05 
   ## 3 20th    no               56 0.455
   ## 4 20th    yes              67 0.545

   Odds Ratio berechnen:

   Wir bezeichnen mit c19 (für “Chance 1”) das Verhältnis von erhöhter Temperatur zu nicht erhöhter Temperatur im 19. Jahrhundert.

   c19 <- 1 / 19

   Mit c20 bezeichnen wir die analoge Chance für das 20. Jahrhundert:

   c20 <- 56 / 67

   Das Verhältnis der beiden Chancen gibt das Chancenverhältnis (Odds Ratio, OR):

   c19 / c20

   ## [1] 0.06296992

   Genauso gut kann man das OR von c20 zu c19 ausrechnen, der Effekt bleibt identisch:

   c20 / c19

   ## [1] 15.8806

   In beiden Fällen ist es ein Faktor von knapp 16.

   
   

7. Aufgabe

   

   Welcher Korrelationswert (Pearson) beschreibt die Korrelation in den Daten am besten?

   
   
   1. $r = 1$
   2. $r = -1$
   3. $r = 0$
   4. $r = .8$
   5. $r = -.8$
   
   

   Lösung

   C. Die Daten wurden aus unkorrelierten Populationen (jeweils normalverteilt) gezogen, also $\rho = 0$.

   Hinweis: Griechische Buchstaben werden hier verwendet, um Variablen aus Populationen zu beschreiben (Parameter), lateinische Buchstaben werden für Stichproben verwendet.

   
   
   1. Falsch
   2. Falsch
   3. Wahr
   4. Falsch
   5. Falsch
   
   

8. Aufgabe

   Welcher Korrelationswert (Pearson) beschreibt die Korrelation in den Daten am besten?

   
   

   Lösung

   Die Korrelation in der zugehörigen (bivariaten) Population beträgt -0.9.

   In der Stichprobe kann der zugehörige Wert (etwas abweichen).

   Das ist genauso, wie wenn man sagt, dass der “mittlere deutsche Mann” 1,80m groß sei, aber wenn Sie eine Stichprobe ziehen, muss der Mittelwert ja auch nicht (notwendigerweise) exakt bei 1,80m lliegen.