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Start:Bayes!
Hallo, Wahrscheinlichkeit
Zufallsvorgang
Definition: Zufallsvorgang
Ein Zufallsvorgang (Zufallsexperiment) ist eine klar beschriebene Tätigkeit, deren Ergebnis nicht sicher ist. Die Menge möglicher Ergebnisse ist aber bekannt, und die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses lässt sich quantifizieren.
Ergebnisraum
Definition: Ergebnisraum
Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs bilden eine Menge, den Ergebnisraum \(\Omega\). Die Elemente \(\omega\) von \(\Omega\) heißen Ergebnisse.
\[\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\]
Vollständiges Ereignissystem
Definition: Vollständiges Ereignissystem
Wird der Grundraum \(\Omega\) vollständig in paarweise disjunkte Ereignisse zerlegt, so bilden diese Ereignisse ein vollständiges Ereignissystem.
Beispiel Würfel: \(A\) = gerade Zahlen, \(B\) = ungerade Zahlen
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse \(A\), \(B \subseteq \Omega\) sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist: \(A \cap B = \emptyset\)
Beispiel: “gerade Augenzahl” (\(\{2,4,6\}\)) und “ungerade Augenzahl” (\(\{1,3,5\}\))
Wahrscheinlichkeit als Erweiterung der Logik
In formaler Logik: ein Ereignis ist falsch (0) oder wahr (1). Der Raum dazwischen ist die Wahrscheinlichkeit \(0 < p < 1\).
Definition von Wahrscheinlichkeit
Definition: Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Plausibilität einer Aussage \(A\), gegeben Hintergrundinformationen \(D\): \(Pr(A|D)\). Sie liegt zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
Frequentistische Definition
Wenn Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind: einfach ausprobieren.
Ein (angeblich fairer) Würfel wird 1000-mal geworfen — Anteil der 6 beobachten:
Vereinigung von Ereignissen
Definition: Vereinigung von Ereignissen
\(C = A \cup B\) besteht aus allen Elementarereignissen von \(A\) oder \(B\).
R: union(A, B)
(Durch-)Schnitt von Ereignissen
Definition: Schnittmenge von Ereignissen
\(A \cap B\) umfasst genau die Elementarereignisse, die Teil beider Ereignisse sind (“A und B”).
R: intersect(A, B)
Eselsbrücke: Vereinigung vs. Schnitt
Komplementärereignis
Definition: Komplementärereignis
\(B\) ist Komplementärereignis zu \(A\), wenn es genau die Elementarereignisse von \(\Omega\) umfasst, die nicht zu \(A\) gehören: \(\bar{A}\) oder \(\neg A\).
Beispiel: \(A\) = “gerade Augenzahl” → \(\neg A\) = “ungerade Augenzahl”
Logische Differenz
Definition: Logische Differenz
\(A \setminus B\) besteht aus den Elementarereignissen von \(A\), die nicht zugleich in \(B\) sind (“A minus B”).
Vorsicht
\(A \setminus B \ne B \setminus A\) — Achtung, Asymmetrie! R: setdiff(A, B)
Von Ereignissen zu Zahlen
Definition: Zufallsvariable
Die Zuordnung der Elementarereignisse eines Zufallsexperiments zu genau einer Zahl \(\in \mathbb{R}\) nennt man Zufallsvariable.
Schreibweise: \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)
Diskrete Zufallsvariable
Definition
Bei einer diskreten Zufallsvariablen sind nur bestimmte Realisationen möglich (meist natürliche Zahlen: 0, 1, 2, …).
- Anzahl Bewerbungen bis zum ersten Interview
- Anzahl Anläufe bis zum Bestehen der Klausur
- Anzahl Treffer beim Losekauf
Wahrscheinlichkeitsverteilung & Verteilungsfunktion
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jeder Realisation einer Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zu.
\[F(x) = \sum_{x_i \le x} Pr(X=x_i)\]
Definition: Verteilungsfunktion
\(F\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass \(X\) eine Realisation \(\le x\) annimmt.
Beispiel: Warten auf den Bus
Wartezeit gleichverteilt zwischen 0 und 10 Minuten.
- \(Pr(X = 42\text{s exakt}) \approx 0\) — die Fläche eines Punktes ist Null
- \(Pr(0 < X < 5\text{ Min}) = 50\,\%\)
Wahrscheinlichkeitsdichte
Definition: Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Dichte \(f(x)\) gibt an, wie viel Wahrscheinlichkeitsmasse pro Einheit von \(X\) an der Stelle \(x\) liegt.
Für stetige \(X\): \(Pr(X = x_j) = 0\) für jedes einzelne \(x_j\) — praktisch relevant sind Intervalle.
