lm-standardfehler

inference
lm
qm2
Published

September 4, 2022

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.2765 -0.4092  0.2150  0.4924  0.8416 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.2308     0.1639  -1.408    0.181    
x             1.2306     0.1706   7.212 4.48e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.6533 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7879,    Adjusted R-squared:  0.7728 
F-statistic: 52.01 on 1 and 14 DF,  p-value: 4.482e-06

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

  • \(2^5\)
  • \(2^6\)
  • \(2^7\)
  • \(2^8\)
  • \(2^9\)











Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.4336 -0.2793 -0.1144  0.3306  1.3238 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.02082    0.10823  -0.192    0.849    
x            1.05455    0.12399   8.505 1.72e-09 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.6084 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7068,    Adjusted R-squared:  0.6971 
F-statistic: 72.34 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.722e-09

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket easystats verwendet:

library(easystats)
lm5 %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0208202 0.1082346 0.95 -0.2418647 0.2002243 -0.1923617 30 0.8487551
x 1.0545456 0.1239906 0.95 0.8013231 1.3077682 8.5050455 30 0.0000000

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0403135 0.0643796 0.95 -0.0883794 0.1690064 0.6261847 62 0.5334925
x 0.9355104 0.0510225 0.95 0.8335179 1.0375029 18.3352584 62 0.0000000 
n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0639485 0.0464190 0.95 -0.1558103 0.0279133 -1.377636 126 0.1707576
x 0.9726786 0.0472752 0.95 0.8791224 1.0662349 20.574815 126 0.0000000 
n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0511604 0.0292404 0.95 -0.0064240 0.1087449 1.749651 254 0.0813862
x 1.0158665 0.0298283 0.95 0.9571241 1.0746089 34.057081 254 0.0000000 
n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0254254 0.0214049 0.95 -0.0674781 0.0166272 -1.187832 510 0.2354523
x 0.9991712 0.0206837 0.95 0.9585354 1.0398070 48.307123 510 0.0000000

Answerlist

  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

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