lm-standardfehler

inference
lm
qm2
Published

September 4, 2022

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.63806 -0.38462  0.09271  0.31161  0.89134 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.1803     0.1187  -1.519    0.151    
x             1.1809     0.1088  10.853 3.36e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.4735 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8938,    Adjusted R-squared:  0.8862 
F-statistic: 117.8 on 1 and 14 DF,  p-value: 3.357e-08

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

  • \(2^5\)
  • \(2^6\)
  • \(2^7\)
  • \(2^8\)
  • \(2^9\)











Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.25990 -0.19448 -0.00669  0.28809  0.93827 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.01679    0.08730   0.192    0.849    
x            1.14506    0.08874  12.904 8.89e-14 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.4919 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8473,    Adjusted R-squared:  0.8423 
F-statistic: 166.5 on 1 and 30 DF,  p-value: 8.894e-14

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket easystats verwendet:

library(easystats)
lm5 %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0167925 0.0873006 0.95 -0.1614991 0.195084 0.1923524 30 0.8487624
x 1.1450582 0.0887355 0.95 0.9638360 1.326280 12.9041680 30 0.0000000

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0019094 0.0534389 0.95 -0.1087323 0.1049135 -0.0357303 62 0.9716122
x 0.9356201 0.0573188 0.95 0.8210415 1.0501987 16.3231047 62 0.0000000 
n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0374447 0.0436498 0.95 -0.1238263 0.0489369 -0.8578435 126 0.3926077
x 0.9655880 0.0431623 0.95 0.8801710 1.0510050 22.3710828 126 0.0000000 
n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0336983 0.0302348 0.95 -0.0932412 0.0258445 -1.114555 254 0.2660948
x 0.9562835 0.0285521 0.95 0.9000545 1.0125124 33.492632 254 0.0000000 
n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0011731 0.0223815 0.95 -0.0427981 0.0451443 0.0524136 510 0.9582197
x 1.0242158 0.0229946 0.95 0.9790399 1.0693917 44.5415154 510 0.0000000

Answerlist

  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

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