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extype: cloze
exsolution: r paste(sol, collapse = "|")
exclozetype: num|num|num|num
exname: Gem-Wskt2
extol: 0.05
expoints: 0.25
categories:
- probability
- bayes
- cloze
date: '2023-11-08'
title: Gem-Wskt2
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<!-- This exercise is based on the R/exams exercise compilations. -->
```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"}
library(exams)
ok <- FALSE
while(!ok) {
pe <- round(runif(1, 0.05, 0.15), digits = 2)
per <- round(runif(1, 0.6, 0.8), digits = 2)
pnenr <- round(runif(1, 0.6, 0.8), digits = 2)
prob1 <- pe * per
prob2 <- pe * (1 - per)
prob3 <- (1 - pe) * (1 - pnenr)
prob4 <- (1 - pe) * pnenr
tab <- cbind(c(prob1, prob3), c(prob2, prob4))
sol <- c(tab[1, 1] / sum(tab[, 1]), tab[1, 1] / sum(tab[1, ]),
tab[2, 1] / sum(tab[2, ]), tab[1, 2] / sum(tab[1, ]))
ok <- sum(tab) == 1 & all(tab > 0) & all(tab < 1)
}
tab2 <- cbind(rbind(tab, colSums(tab)), c(rowSums(tab), 1))
tab2 <- format(tab2 * 100, digits = 2, nsmall = 2, trim = TRUE)
tab2 <- gsub(" ", "", tab2, fixed = TRUE)
sol <- round(100 * as.vector(tab), digits = 2)
lab <- c("E \\cap R", "\\overline{E} \\cap R", "E \\cap \\overline{R}", "\\overline{E} \\cap \\overline{R}")
```
# Aufgabe
Ein renommiertes Unternehmen sucht einen Kandidaten für eine (hoch dotierte) Führungsposition.
Ein Managementberatungsunternehmung führt ein Assessmentcenter durch,
welches pro Kandidat/in eine positive bzw. negative Empfehlung ergibt.
Aus früheren Erfahrungen heraus wissen die Berater,
dass die tatsächlich geeigneten Kandidaten (Ereignis $E$ wie *eligible*) mit
$`r per * 100`\%$ eine positive Empfehlung für die Stelle ausgesprochen bekommen
(Ereignis $R$ wie *recommendation*).
Weiterhin bekommen von den *nicht* geeigneten Kandidaten $`r pnenr * 100`\%$
eine negative Empfehlung.
Insgesamt wissen die Berater, dass $`r pe * 100`\%$ der Bewerber/innen
tatsächlich geeignet sind.
**Aufgabe:** Was ist die entsprechende Häufigkeitstabelle?
Geben Sie alle vier Einträge in Prozent an!
*Hinweis*: Das Gegenereignis vom Ereignis $A$ wird als Komplementärereignis oder
kurz als Komplement bezeichnet und mit $A^C$ oder $\overline{A}$ abgekürzt.
Im vorliegenden Fall meint $\overline{R}=R^C$ das Ereignis,
dass ein Kandidat *keine* Empfehlung ausgesprochen bekommt.
```{r questionlist, echo = FALSE, results = "asis"}
exams::answerlist(paste("$P(", lab, ")$", sep = ""), markup = "markdown")
```
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# Lösung
Einige Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt aus dem Text errechnen:
$$
\begin{aligned}
P(E \cap R) & =
P(R | E) \cdot P(E) = `r per` \cdot `r pe` = `r prob1` = `r 100 * prob1`\%\\
P(\overline{E} \cap \overline{R}) & =
P(\overline{R} | \overline{E}) \cdot P(\overline{E}) = `r pnenr` \cdot `r 1 - pe` = `r prob4` = `r 100 * prob4`\%.
\end{aligned}
$$
Die restlichen gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch Addieren und Subtrahieren in der Kontingenztabelle errechnen:
| | $R$ | $\overline{R}$ | Summe |
|:-------------:|:------------------:|:------------------:|:------------------:|
|$E$ | **`r tab2[1, 1]`** | _`r tab2[1, 2]`_ | **`r tab2[1, 3]`** |
|$\overline{E}$ | _`r tab2[2, 1]`_ | **`r tab2[2, 2]`** | _`r tab2[2, 3]`_ |
|Summe | _`r tab2[3, 1]`_ | _`r tab2[3, 2]`_ | **`r tab2[3, 3]`** |
```{r solutionlist, echo = FALSE, results = "asis"}
exams::answerlist(paste("$P(", lab, ") = ", format(sol), "\\%$", sep = ""), markup = "markdown")
```
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Categories:
- probability
- bayes
- cloze