Fünf Beobachter, ein Ereignis

Fünf Personen bilden sich eine Meinung zu einer Hypothese \(H\) – sagen wir, “das Medikament wirkt”. Jede startet mit einer anderen Vorüberzeugung (Prior), und dann beobachten alle fünf dieselbe Serie von Ereignissen \(E\), die für \(H\) sprechen – zum Beispiel wiederholt positive Studienergebnisse. Was passiert mit ihren Überzeugungen, je mehr Evidenz sich anhäuft?

Diese Frage lässt sich mit dem Satz von Bayes exakt beantworten, und zwar am elegantesten in der Odds-Form:

\[ \text{Odds}(H \mid E) = \text{Odds}(H) \cdot \text{LR}^{\,E} \]

Der Prior wird dabei in Chancen (Odds) statt in Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt, und jedes zusätzliche für \(H\) sprechende Ereignis multipliziert die Odds mit derselben Likelihood-Ratio (LR). Aus den resultierenden Odds lässt sich die Posterior-Wahrscheinlichkeit zurückrechnen:

\[ \Pr(H \mid E) = \frac{\text{Odds}(H \mid E)}{1 + \text{Odds}(H \mid E)} \]

Die fünf Beobachter

Typ	Prior \(\Pr(H)\)	Beschreibung
Ausschließer	0	hält \(H\) für absolut unmöglich
Skeptiker	0.001	hält \(H\) für extrem unwahrscheinlich
Kritiker	0.10	ist eher dagegen
Unentschiedene	0.50	hat keine Präferenz
Zustimmer	0.90	ist von Anfang an überzeugt

Alle fünf sehen dieselbe Evidenz und aktualisieren nach derselben Regel – der einzige Unterschied ist ihr Startpunkt.

Cromwells Regel

Eine Person, deren Prior exakt 0 ist, bleibt für immer bei Pr(H) = 0, egal wie viel Evidenz für \(H\) noch dazukommt. In der Odds-Form ist das offensichtlich: Odds(H) = 0, und 0 mal irgendetwas bleibt 0. Diese Eigenart bayesianischen Schließens ist als Cromwells Regel bekannt (nach Oliver Cromwells “I beseech you, in the bowels of Christ, think it possible that you may be mistaken”) – wer eine Möglichkeit von vornherein auf exakt null setzt, kann sie durch keine noch so große Menge an Daten mehr revidieren. Das ist keine Rechenschwäche der Formel, sondern ihre Konsequenz: Ein Prior von exakt 0 oder 1 ist eine Aussage, die als unwiderruflich gemeint ist.

Alle anderen vier Beobachter – selbst der Skeptiker mit Prior 0.001 – konvergieren dagegen langfristig gegen Pr(H) = 1, sofern die Evidenz konsistent für \(H\) spricht. Sie brauchen nur unterschiedlich lange dafür.

Interaktive Visualisierung

Im Folgenden lässt sich das live nachvollziehen: Der Schieberegler “Anzahl Ereignisse E” spielt die Ansammlung von Evidenz durch, der Schieberegler “Beweiskraft je Ereignis (LR)” bestimmt, wie stark jedes einzelne Ereignis für \(H\) spricht. Ein Klick auf die Legende blendet einzelne Kurven aus, “Abspielen” animiert die Konvergenz automatisch.

Das Diagramm ist mit r2d3 gebaut – einem R-Paket, das D3.js-Visualisierungen direkt aus R heraus einbettet. Zuerst die benötigten Pakete:

library(r2d3)

Daten für die fünf Beobachter

Jeder Typ bekommt eine ID, ein Label für die Legende, seinen Prior und eine Farbe. Das Okabe-Ito-Farbschema wäre hier weniger passend, weil die fünf Kurven inhaltlich eine Abstufung “gegen – neutral – dafür” bilden – daher orientieren sich die Farben stattdessen an dieser Abstufung (Blau/Orange für die ablehnenden, Grün/Gelb/Pink für neutral/zustimmend).

typen <- data.frame(
  id     = c("ausschliesser", "kritiker", "skeptiker", "unentschieden", "zustimmer"),
  label  = c("Ausschließer", "Kritiker", "Skeptiker", "Unentschiedene", "Zustimmer"),
  prior  = c(0, 0.10, 0.001, 0.50, 0.90),
  farbe  = c("#2a78d6", "#eb6834", "#1baf7a", "#eda100", "#e87ba4"),
  stringsAsFactors = FALSE
)

typen
#>              id          label prior   farbe
#> 1 ausschliesser   Ausschließer 0.000 #2a78d6
#> 2      kritiker       Kritiker 0.100 #eb6834
#> 3     skeptiker      Skeptiker 0.001 #1baf7a
#> 4 unentschieden Unentschiedene 0.500 #eda100
#> 5     zustimmer      Zustimmer 0.900 #e87ba4

Spalte	Bedeutung
`id`	interne Kennung des Beobachtertyps
`label`	Beschriftung in der Legende
`prior`	Prior-Wahrscheinlichkeit \(\Pr(H)\) vor jeder Evidenz
`farbe`	Kurvenfarbe im Diagramm (Hex-Code)

Parameter und Übergabe an D3

Zusätzlich zu den Beobachtertypen braucht das Diagramm zwei Default-Parameter: die maximale Anzahl an Ereignissen (emax) und die voreingestellte Likelihood-Ratio (lr0). Alles zusammen wird als Liste an r2d3() übergeben, das JavaScript in bayes_konvergenz.js rendert daraus das eigentliche Diagramm.

r2d3() serialisiert einen data.frame standardmäßig spaltenweise ({id: [...], prior: [...]}), das D3-Skript erwartet aber ein zeilenweises Array von Objekten (typen.map(s => s.prior)). Deshalb wird typen zuerst in eine Liste von Zeilen-Records umgewandelt.

typen_rows <- lapply(seq_len(nrow(typen)), function(i) as.list(typen[i, ]))

d3_data <- list(
  typen = typen_rows,
  emax  = 100,
  lr0   = 1.15
)

Das Widget bekommt zusaetzlich zum eigentlichen Chart noch Regler, Buttons und eine Legende spendiert (siehe bayes_konvergenz.js). Mit container = "svg" wuerde r2d3 die <svg> automatisch auf die volle Widget-Hoehe strecken – dann bliebe fuer die zusaetzlichen Elemente kein Platz und sie wuerden den nachfolgenden Text ueberlappen. Deshalb container = "div": Das Skript bekommt nur den umgebenden Container und baut sich die <svg> mit einer festen Innenhoehe selbst; die Gesamthoehe des Widgets (height) reserviert dafuer explizit genug Platz fuer Regler, Chart und Legende.

r2d3(
  data = d3_data,
  script = "bayes_konvergenz.js",
  container = "div",
  d3_version = "6",
  height = 580,
  options = list(margin = list(top = 16, right = 20, bottom = 40, left = 46))
)

Was zeigt das Diagramm?

Der Ausschließer (Prior 0) verharrt als flache Linie bei Pr(H) = 0 – Cromwells Regel in Aktion.
Der Skeptiker (Prior 0.001) startet fast bei null, braucht aber bei einer moderaten Beweiskraft nur relativ wenige Ereignisse, um ebenfalls Richtung 1 zu klettern – exponentielles Wachstum der Odds holt einen kleinen Prior schneller ein, als die Intuition vermuten lässt.
Kritiker, Unentschiedene und Zustimmer konvergieren alle gegen dieselbe Grenze, nur mit unterschiedlichem Vorsprung.
Zieht man den LR-Regler nach oben, beschleunigt sich die Konvergenz aller vier beweglichen Kurven – die Reihenfolge bleibt aber gleich, weil die Priors sich nicht ändern.

Das Bild dahinter: Ein Prior ist ein Startpunkt, keine Festlegung – außer man erklärt ihn per Definition zu einer (Pr = 0 oder Pr = 1). Für jeden anderen Startwert gilt: Genug konsistente Evidenz gleicht fast jede Ausgangsüberzeugung wieder aus.

Die Grundlage dieses Posts stammt von Karsten Lübke. Dieser Beitrag inkl. Code und Visualisierung wurde mit KI-Unterstützung (Claude) erstellt.

Wie Posterior-Wahrscheinlichkeiten konvergieren