Forschungsfragen für binäre AV

# Forschungsfragen für binäre AV
## Kapitel 9

---

<style>

.center2 {
  margin: 0;
  position: absolute;
  top: 50%;
  left: 50%;
  -ms-transform: translate(-50%, -50%);
  transform: translate(-50%, -50%);
}

</style>

## Gliederung

</br>
</br>

2. [Teil 2: Metrische UV](#teil-2)

2. [Teil 3: Prioris](#teil-3)

2. [Teil 4: Binäre UV](#teil-4)

2. [Teil 5: Modellgüte](#teil-5)

5. [Hinweise](#hinweise)
]

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# Teil 1

## Grundlagen der logistischen Regression

---

## Lineare Modelle für binäre AV?

>    *Forschungsfrage*: Kann man anhand des Spritverbrauchs vorhersagen, ob ein Auto eine Automatik- bzw. ein manuelle Schaltung hat? Anders gesagt: Hängen Spritverbrauch und Getriebeart? (Datensatz `mtcars`)

```r
data(mtcars)
mtcars <-
  mtcars %>% 
  mutate(mpg_z = scale(mpg))
```

```r
m91 <-
  stan_glm(am ~ mpg_z, 
           data = mtcars, 
           refresh = 0)
coef(m91)
```

```
## (Intercept)       mpg_z 
##       0.405       0.302
```

Wir können die Vorhersagen des Modells, d.h. `$\hat{y}_i$`, 
als *Wahrscheinlichkeit* interpretieren (für `am=1)`.

]

.pull-right[
<img src="Kapitel_9_chunk-img/unnamed-chunk-6-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

`$Pr(\text{am}=1|m91,\text{mpg_z}=0) = 0.46$`: 
Die Wahrscheinlichkeit einer manuelle Schaltung, 
gegeben einem durchschnittlichen Verbrauch (und dem Modell `m91`) liegt bei knapp 50%.

]

---

## Lineare Modelle running wild

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine manuelle Schaltung ...

- ... bei `mpg_z = -2`?

```r
(predict(m91, newdata = data.frame(mpg_z = -2)))
```

```
##      1 
## -0.197
```

`$Pr(\hat{y})<0$` macht keinen Sinn. ⚡

- ... bei `mpg_z = +2`?

```r
(predict(m91, newdata = data.frame(mpg_z = 2)))
```

```
## 1 
## 1
```

`$Pr(\hat{y})>1$` macht keinen Sinn. ⚡

Schauen Sie sich mal die Vorhersage an für `mpg_z=5` 🤯

---

## Wir müssen die Regressionsgerade umbiegen

]

- Die *blaue* Kurve, `$\mathcal{f}$`, bleibt im erlaubten Bereich, `$Pr(y) \in [0,1]$`.

- Wir müssen also die linke oder die rechte Seite des linearen Modells transformieren:

`$p_i = f(\alpha + \beta \cdot x)$` bzw.:

`$f(p) = \alpha + \beta \cdot x$`

- `$\mathcal{f}$` nennt man eine *Link-Funktion*.

]

[McElreath (2020, Kap. 10.2)](#bib-mcelreath_statistical_2020)

---

## Verallgemeinerte lineare Modelle zur Rettung

- Für metrische AV mit theoretisch unendlichen Grenzen des Wertebereichs haben wir bisher eine Normalverteilung verwendet:

`$$y_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma)$$`

- Dann ist die Normalverteilung eine voraussetzungsarme Wahl (maximiert die Entropie).

- Aber wenn die AV *binär* ist bzw. *Häufigkeiten* modelliert, braucht man eine Variable die nur positive Werte zulässt.

- In diesem Fall passt die *Binomialverteilung*, `$\mathcal{Bin}$` oder `$\mathcal{B}$`, gut und ist voraussetzungsarm (maximiert die Entropie):

$$
`\begin{align}
y_i &\sim \mathcal{Bin}(n, p_i) \\
f(p_i) &= \alpha + \beta x
\end{align}`
$$
- Eine binäre Variablen ist eine Häufigkeitsvariable mit `$\mathcal{Bin}(1,p)$`.

- Diese Verallgemeinerung des linearen Modells bezeichnet man als *generalisiertes lineares Modell* (generalized linear model).

---

## Der Logit-Link

- Der *Logit-Link*, `$\mathcal{L}$`, `logit`, Log-Odds oder Logit-Funktion genannt, ordnet einen Parameter, der als Wahrscheinlichkeitsmasse definiert ist (und daher im Bereich von 0 bis 1 liegt), einem linearen Modell zu (das jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann):

$$
`\begin{align}
y_i &\sim \mathcal{B}(n, p_i) \\
\text{logit}(p_i) &= \alpha + \beta x_i
\end{align}`
$$

- Die Logit-Funktion `$\mathcal{L}$` ist definiert als der (natürliche) Logarithmus des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeit zu Gegenwahrscheinlichkeit:

`$$\mathcal{L} = \text{log} \frac{p_i}{1-p_i}$$`

- Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit zu Gegenwahrscheinlichkeit nennt man auch *Odds*.

- Also:

`$$\mathcal{L} = \text{log} \frac{p_i}{1-p_i} = \alpha + \beta x_i$$`

---

## Inverser Logit

Um nach `$p$` aufzulösen, müssen wir einige Algebra bemühen:

$$
`\begin{align}
\text{log} \frac{p}{1-p} &= \alpha + \beta x & & \text{Exponentieren}\\
\frac{p}{1-p} &= e^{\alpha + \beta x} \\
p_i &= e^{\alpha + \beta x_i} (1-p) & & \text{Zur Vereinfachung: } x := e^{\alpha + \beta x_i} \\
p_i &= x (1-p) \\
&= x - xp \\
p + px &= x \\
p(1+x) &= x \\
p &= \frac{x} {1+x} & & \text{Lösen wir x wieder auf.} \\
p &= \frac{e^{\alpha + \beta x_i}}{1 + e^{\alpha + \beta x_i}} = \mathcal{L}^{-1}
\end{align}`
$$

Diese Funktion nennt man auch *inverser Logit*, `$\text{logit}^{-1}, \mathcal{L}^{-1}$`.

---
## Logit und Inverser Logit
.pull-left[
#### Logit
`$(0,1) \rightarrow (-\infty, +\infty)$`

Praktisch, um Wahrscheinlichkeit zu modellieren.

`$$p \rightarrow \fbox{logit} \rightarrow \alpha + \beta x$$`

]
.pull-right[
#### Inv-Logit
`$(-\infty, +\infty) \rightarrow (0,1)$`

Praktisch, um in Wahrscheinlichkeiten umzurechnen.

`$$p \leftarrow \fbox{inv-logit} \leftarrow \alpha + \beta x$$`

]

---

## Logistische Regression

- Eine Regression mit binomial verteilter AV und Logit-Link nennt man *logistische Regression*.

- Man verwendet die logistische Regression um binomial verteilte AV zu modellieren, z.B.
    - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde das Produkt kauft?
    - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter kündigt?
    - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Klausur zu bestehen?
    
- Die logistische Regression ist eine normale, lineare Regression für den Logit von `$Pr(y=1)$`, wobei `$y$` (AV) binomialvereteilt mit `$n=1$` angenommen wird:

$$
`\begin{align}
y_i &\sim \mathcal{B}(1, p_i) \\
\text{logit}(p_i) &= \alpha + \beta x_i
\end{align}`
$$

- Da es sich um eine normale, lineare Regression handelt, sind alle bekannten Methoden und Techniken der linearen Regression zulässig.

- Da Logits nicht einfach zu interpretieren sind, rechnet man nach der Berechnung des Modells den Logit häufig in Wahrscheinlichkeiten um.

---

## Die Koeffizienten sind schwer zu interpretieren

- In der logistischen Regression gilt *nicht* mehr, dass eine konstante Veränderung in der UV mit einer konstanten Veränderung in der AV einhergeht.
- Stattdessen geht eine konstante Veränderung in der UV mit einer konstanten Veränderung im *Logit* der AV einher.
- Beim logistischen Modell hier gilt, dass in der Nähe von `$x=0$` die größte Veränderung in `$p$` von statten geht; je weiter weg von `$x=0$`, desto geringer ist die Veränderung in `$p$`.

---

## Logits vs. Wahrscheinlichkeiten `$p$`

```r
konvert_logits <-
  tibble(
    logit = c( -10, -3, 
              -2, -1, -0.5, -.25, 
              0, 
              .25, .5, 1, 2, 
              3, 10),
    p = invlogit(logit)
  ) 
```

]

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#sdrqxtzgvs .gt_font_italic {
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#sdrqxtzgvs .gt_super {
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}

#sdrqxtzgvs .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
  font-weight: normal;
  font-size: 65%;
}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">logit</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">p</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_right">−10.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.00</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">−3.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.05</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">−2.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.12</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">−1.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.27</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">−0.50</td>
<td class="gt_row gt_right">0.38</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">−0.25</td>
<td class="gt_row gt_right">0.44</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.50</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.25</td>
<td class="gt_row gt_right">0.56</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.50</td>
<td class="gt_row gt_right">0.62</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">1.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.73</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">2.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.88</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">3.00</td>
<td class="gt_row gt_right">0.95</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">10.00</td>
<td class="gt_row gt_right">1.00</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

]

---

# Teil 2

## Metrische UV

---

## Geschlecht vorhersagen auf Basis der Körpergröße

[Beschreibung des Datensatzes](https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/openintro/speed_gender_height.html), [Datenquelle](https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/openintro/speed_gender_height.csv)

```r
d <- read_csv(
"https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/openintro/speed_gender_height.csv")
```

---

## Zusammenhang von Körpergröße und 'Mann'?

>    *Forschungsfrage*: Ist der Zusammenhang von *Körpergröße* und 'Mann' positiv? Gehen also höhere Werte in Körpergröße `height` einher mit einer höheren Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Mann `m` handelt?

$$
`\begin{align}
m_i &\sim \mathcal{B}(1, p_i) \\
\mathcal{L}(p_i) &= \alpha + \beta \cdot \text{height}_i \\
\alpha &\sim \text{klären wir noch}  \\
\beta &\sim \text{klären wir noch}  \\
\end{align}`
$$

- Die Variable `$m_i$` (ob eine Person ein Mann ist) wird als binomial verteilt angenommen mit der Wahrscheinlichkeit `$p_i$`.
- Die Häufigkeiten, die pro Person möglich sind, begrenzen sich auf 0 und 1 (solche Ereignisse nennt man auch *Bernoulli verteilt*).
- Pro Person wird der Logit von `$p_i$` modelliert als lineare Funktion der Körpergröße dieser Person.
- Entsprechend gilt auch:

`$$p_i = \text{logit}^{-1}( \alpha + \beta \cdot \text{height}_i)$$`

---

## Modell `m92`

```r
d2 <- d %>% 
  drop_na() %>% 
  mutate(male = ifelse(gender == "male", 1, 0),
         height_cm = height * 2.54,
         height_c = height_cm - mean(height_cm))

m92 <- stan_glm(male ~ height_c, 
                family = binomial(link="logit"),
                data = d2, refresh = 0)

coef(m92)
```

```
## (Intercept)    height_c 
##      -1.080       0.203
```

- Die Modellgleichung kann man so schreiben: `$Pr(y=1) = Pr(\text{male}) = \text{logit}^{-1}(-1.08 + 0.2*\text{height})$`
- Bei einer mittleren Größe (`height_c = 0`) ist der Logit für 'Mann' -1.08. 
- WEnn dieser Wert kleiner ist als Null, ist die Wahrscheinlichkeit kleiner als 50%.
- Für jeden zusätzlichen Zentimeter Größe steigt die Wahrscheinlichkeit, dass wir 'Mann' vorhersagen um ca. 0.2 Logits.
- Der Zuwachs an Wahrscheinlichkeit ist *nicht* konstant pro zusätzlichen Logit.

---

## Umrechnen von Logits in Wahrscheinlichkeit

- Logits sind schwer zu interpretieren, rechnen wir in Wahrscheinlichkeit, `$p$` um.

- Der Achsenabschnitt im zentrierten (oder z-standardisierten) Modell gibt, den Y-Wert an für eine Beobachtung mit mittleren X-Wert:

```r
invlogit <- plogis  # Funktion, um Inv-Logit von R berechnen zu lassen

invlogit(coef(m92)[1])
```

```
## (Intercept) 
##       0.253
```

- Bei einer Person mittleren Größe sagt unser Modell mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 0.25 vorher, dass es ein Mann ist.

```r
invlogit(coef(m92)[1] + coef(m92)[2]*10)
```

```
## (Intercept) 
##       0.721
```

- Bei einer Person, die 10cm größer ist als der Mittelwert, geht unser Modell von einer Wahrscheinlichkeit von 0.72 aus.

---

## Post befragen: 95%-PI

```r
posterior_interval(m92, prob = .95)
```

```
##               2.5%  97.5%
## (Intercept) -1.251 -0.925
## height_c     0.182  0.226
```

```r
invlogit(c(-1.22, -0.95))  # Von Logits in Pr umrechnen
```

```
## [1] 0.228 0.279
```

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelgroße Person ein Mann ist, 
liegt zwischen ca. 23% und 28%, laut dem Modell.

Die Intervallgrenzen des Regressionsgewichts `$\beta$` sind schwieriger zu interpretieren, 
da die Veränderung in den Wahrscheinlichkeiten nicht konstant sind:
Je größere eine Person, 
desto geringer der Zuwachs in Wahrscheinlichkeit (ein Mann zu sein) pro zusätzliche Logit-Einheit.

---

## Ist der Zusammenhang von Größe und 'Mann' positiv?

>    Forschungsfrage: Ist der Zusammenhang von Körpergröße und 'Mann' positiv?

Zählen wir den Anteil der Stichproben, die ein positives `$\beta$` findet:

```r
m92 %>% 
  as_tibble() %>% 
  count(height_c > 0)
```

```
## # A tibble: 1 × 2
##   `height_c > 0`     n
##   <lgl>          <int>
## 1 TRUE            4000
```

Das hatten wir schon mit `posterior_interval()` gesehen, das ein 95%-PI ausgegeben hat, in dem die Null nicht enthalten ist.

>    Der Zusammenhang von Körpergröße und 'Mann' ist sehr sicher positiv, laut dem Modell: Je größer eine Person, desto höher die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Mann ist.

---

## Vorhersagen auf Basis der Post-Verteilung

>    `$Pr(\text{Mann}\;|\;\text{height}_c=10, m92)?$`

- Ausgabe in Logit, `$\mathcal{L}$`:

```r
posterior_linpred(m92, newdata = tibble(height_c = 10)) %>%
  mean()  # `invlogit()` rechnet in Pr. um
```

```
## [1] 0.948
```

- Ausgabe in Wahrscheinlichkeit, `$Pr$`:

```r
m92_post_10 <- 
  posterior_epred(m92, newdata = tibble(height_c = 10))

m92_post_10 %>% as_tibble() %>% 
  summarise(mean(`1`), sd(`1`))  # Punktschätzer plus Streuung
```

Vorhergesagter Wert: ca. 72% (MW, Punktschätzer) ± 2% (Streuung d.h. Standardfehler)

---

## PPV befragen 1

Betrachten wir die PPV für Personen der Größe -40, -30, ..., +40 cm größer als der Durchschnitt, hier hilft `posterior_predict()`:

```r
height_vec <- seq(-40, 40, by = 10)
heights_df <- tibble(height_c = height_vec)
m92_ppv <- posterior_predict(m92, newdata = heights_df) %>% 
  as_tibble()
```

Die ersten paar Zeilen von `m92_ppv`:

<div id="vlouteuhau" style="overflow-x:auto;overflow-y:auto;width:auto;height:auto;">
<style>html {
  font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, Oxygen, Ubuntu, Cantarell, 'Helvetica Neue', 'Fira Sans', 'Droid Sans', Arial, sans-serif;
}

#vlouteuhau .gt_table {
  display: table;
  border-collapse: collapse;
  margin-left: auto;
  margin-right: auto;
  color: #333333;
  font-size: 16px;
  font-weight: normal;
  font-style: normal;
  background-color: #FFFFFF;
  width: auto;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #A8A8A8;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #A8A8A8;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 2px;
  border-left-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_heading {
  background-color: #FFFFFF;
  text-align: center;
  border-bottom-color: #FFFFFF;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_title {
  color: #333333;
  font-size: 125%;
  font-weight: initial;
  padding-top: 4px;
  padding-bottom: 4px;
  border-bottom-color: #FFFFFF;
  border-bottom-width: 0;
}

#vlouteuhau .gt_subtitle {
  color: #333333;
  font-size: 85%;
  font-weight: initial;
  padding-top: 0;
  padding-bottom: 6px;
  border-top-color: #FFFFFF;
  border-top-width: 0;
}

#vlouteuhau .gt_bottom_border {
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_col_headings {
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_col_heading {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: normal;
  text-transform: inherit;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: bottom;
  padding-top: 5px;
  padding-bottom: 6px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  overflow-x: hidden;
}

#vlouteuhau .gt_column_spanner_outer {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: normal;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 0;
  padding-bottom: 0;
  padding-left: 4px;
  padding-right: 4px;
}

#vlouteuhau .gt_column_spanner_outer:first-child {
  padding-left: 0;
}

#vlouteuhau .gt_column_spanner_outer:last-child {
  padding-right: 0;
}

#vlouteuhau .gt_column_spanner {
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  vertical-align: bottom;
  padding-top: 5px;
  padding-bottom: 5px;
  overflow-x: hidden;
  display: inline-block;
  width: 100%;
}

#vlouteuhau .gt_group_heading {
  padding: 8px;
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  text-transform: inherit;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: middle;
}

#vlouteuhau .gt_empty_group_heading {
  padding: 0.5px;
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  vertical-align: middle;
}

#vlouteuhau .gt_from_md > :first-child {
  margin-top: 0;
}

#vlouteuhau .gt_from_md > :last-child {
  margin-bottom: 0;
}

#vlouteuhau .gt_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  margin: 10px;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 1px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: middle;
  overflow-x: hidden;
}

#vlouteuhau .gt_stub {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  text-transform: inherit;
  border-right-style: solid;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  padding-left: 12px;
}

#vlouteuhau .gt_summary_row {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
}

#vlouteuhau .gt_first_summary_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_grand_summary_row {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
}

#vlouteuhau .gt_first_grand_summary_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  border-top-style: double;
  border-top-width: 6px;
  border-top-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_striped {
  background-color: rgba(128, 128, 128, 0.05);
}

#vlouteuhau .gt_table_body {
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_footnotes {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  border-bottom-style: none;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 2px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_footnote {
  margin: 0px;
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#vlouteuhau .gt_sourcenotes {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  border-bottom-style: none;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 2px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#vlouteuhau .gt_sourcenote {
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#vlouteuhau .gt_left {
  text-align: left;
}

#vlouteuhau .gt_center {
  text-align: center;
}

#vlouteuhau .gt_right {
  text-align: right;
  font-variant-numeric: tabular-nums;
}

#vlouteuhau .gt_font_normal {
  font-weight: normal;
}

#vlouteuhau .gt_font_bold {
  font-weight: bold;
}

#vlouteuhau .gt_font_italic {
  font-style: italic;
}

#vlouteuhau .gt_super {
  font-size: 65%;
}

#vlouteuhau .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
  font-weight: normal;
  font-size: 65%;
}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">1</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">2</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">3</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">4</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">5</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">6</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">7</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">8</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">9</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">0</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td>
<td class="gt_row gt_center">1</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

Die 9 Spalten entsprechen den 9 Werten von `height_vec`, (-40, -30, ..., +40).

---

## PPV befragen 2

>    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die -40, -30, ..., 40 cm größer ist als der Durchschnitt (`group`), als Mann klassifiziert wird?

```r
m92_ppv %>%  pivot_longer(everything(), 
               names_to = "group",
               values_to = "pred") %>% 
  group_by(group) %>% 
  summarise(group_avg = mean(pred), group_sd = sd(pred))
```

.pull-left[
<div id="espwrudynq" style="overflow-x:auto;overflow-y:auto;width:auto;height:auto;">
<style>html {
  font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, Oxygen, Ubuntu, Cantarell, 'Helvetica Neue', 'Fira Sans', 'Droid Sans', Arial, sans-serif;
}

#espwrudynq .gt_table {
  display: table;
  border-collapse: collapse;
  margin-left: auto;
  margin-right: auto;
  color: #333333;
  font-size: 16px;
  font-weight: normal;
  font-style: normal;
  background-color: #FFFFFF;
  width: auto;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #A8A8A8;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #A8A8A8;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 2px;
  border-left-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_heading {
  background-color: #FFFFFF;
  text-align: center;
  border-bottom-color: #FFFFFF;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
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  border-right-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_title {
  color: #333333;
  font-size: 125%;
  font-weight: initial;
  padding-top: 4px;
  padding-bottom: 4px;
  border-bottom-color: #FFFFFF;
  border-bottom-width: 0;
}

#espwrudynq .gt_subtitle {
  color: #333333;
  font-size: 85%;
  font-weight: initial;
  padding-top: 0;
  padding-bottom: 6px;
  border-top-color: #FFFFFF;
  border-top-width: 0;
}

#espwrudynq .gt_bottom_border {
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_col_headings {
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
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  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
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  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_col_heading {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: normal;
  text-transform: inherit;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 1px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 1px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: bottom;
  padding-top: 5px;
  padding-bottom: 6px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  overflow-x: hidden;
}

#espwrudynq .gt_column_spanner_outer {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: normal;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 0;
  padding-bottom: 0;
  padding-left: 4px;
  padding-right: 4px;
}

#espwrudynq .gt_column_spanner_outer:first-child {
  padding-left: 0;
}

#espwrudynq .gt_column_spanner_outer:last-child {
  padding-right: 0;
}

#espwrudynq .gt_column_spanner {
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  vertical-align: bottom;
  padding-top: 5px;
  padding-bottom: 5px;
  overflow-x: hidden;
  display: inline-block;
  width: 100%;
}

#espwrudynq .gt_group_heading {
  padding: 8px;
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  text-transform: inherit;
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  vertical-align: middle;
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#espwrudynq .gt_empty_group_heading {
  padding: 0.5px;
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  border-top-style: solid;
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  vertical-align: middle;
}

#espwrudynq .gt_from_md > :first-child {
  margin-top: 0;
}

#espwrudynq .gt_from_md > :last-child {
  margin-bottom: 0;
}

#espwrudynq .gt_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  margin: 10px;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 1px;
  border-top-color: #D3D3D3;
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  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: middle;
  overflow-x: hidden;
}

#espwrudynq .gt_stub {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  font-size: 100%;
  font-weight: initial;
  text-transform: inherit;
  border-right-style: solid;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
  padding-left: 12px;
}

#espwrudynq .gt_summary_row {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
}

#espwrudynq .gt_first_summary_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_grand_summary_row {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  text-transform: inherit;
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
}

#espwrudynq .gt_first_grand_summary_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
  border-top-style: double;
  border-top-width: 6px;
  border-top-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_striped {
  background-color: rgba(128, 128, 128, 0.05);
}

#espwrudynq .gt_table_body {
  border-top-style: solid;
  border-top-width: 2px;
  border-top-color: #D3D3D3;
  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_footnotes {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  border-bottom-style: none;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
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  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
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  border-right-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_footnote {
  margin: 0px;
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#espwrudynq .gt_sourcenotes {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  border-bottom-style: none;
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  border-bottom-color: #D3D3D3;
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  border-right-color: #D3D3D3;
}

#espwrudynq .gt_sourcenote {
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#espwrudynq .gt_left {
  text-align: left;
}

#espwrudynq .gt_center {
  text-align: center;
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#espwrudynq .gt_right {
  text-align: right;
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}

#espwrudynq .gt_font_normal {
  font-weight: normal;
}

#espwrudynq .gt_font_bold {
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}

#espwrudynq .gt_font_italic {
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}

#espwrudynq .gt_super {
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}

#espwrudynq .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
  font-weight: normal;
  font-size: 65%;
}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">group</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">group_avg</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">group_sd</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_right">1.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.000</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">2.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.001</td>
<td class="gt_row gt_right">0.022</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">3.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.005</td>
<td class="gt_row gt_right">0.074</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">4.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.044</td>
<td class="gt_row gt_right">0.205</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">5.000</td>
<td class="gt_row gt_right">0.253</td>
<td class="gt_row gt_right">0.435</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

]

.pull-right[
<img src="Kapitel_9_chunk-img/unnamed-chunk-29-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

Die Streuungswerte aus der PPV sind nur bedingt zu interpretieren.

]

---

## PPV befragen 3

>    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine überdurchschnittlich große Person als Mann klassifiziert wird? Wie hoch ist die Ungewissheit dieser Klassifizierung?

- Dazu bilden wir den Mittelwert der Spalten 6-9.
- Für diesen Zweck muss die Tabelle so umgeformt werden, dass die Wahrscheinlichkeiten aller 9 Gruppen in einer Spalte stehen (`pivot_wider()`).
- Dann filtern wir die Gruppen 5-9.

```r
m92_ppv %>% 
  pivot_longer(everything()) %>% 
  filter(name == c("6", "7", "8", "9")) %>% 
  summarise(p_mann_avg = mean(value),
            p_mann_sd = sd(value))
```

```
## # A tibble: 1 × 2
##   p_mann_avg p_mann_sd
##        <dbl>     <dbl>
## 1      0.918     0.275
```

---

## Tabellen umformen von lang nach breit und zurück

- `pivot_longer()` von breit nach lang (`gather`)
- `pivot_wider()` von lang nach breit (`spread`)

Garrick Aden-Buie [Quelle](https://github.com/gadenbuie/tidyexplain#spread-and-gather); [vgl. auch dieses Tutorial](https://ab604.github.io/docs/coding-together-2019/data-wrangle-2.html#reshaping-data-with-pivots)

---

## Datensatz zu außerehelichen Affären

[Beschreibung des Datensatzes](https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/doc/AER/Affairs.html), [Datenquelle](https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/AER/Affairs.csv)

```r
d_hallodri <- read_csv(
 "https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/AER/Affairs.csv")
```

EDA:

```r
d_hallodri <-
  d_hallodri %>% 
  mutate(is_hallodri = 
    ifelse(affairs > 0, 1, 0),
    rating_z =
           scale(rating))

d_hallodri %>% 
  select(is_hallodri, rating_z) %>% 
  group_by(rating_z) %>% 
  get_summary_stats(
    type = "mean_sd")
```
]

.pull-right[
<img src="Kapitel_9_chunk-img/unnamed-chunk-33-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" /><img src="Kapitel_9_chunk-img/unnamed-chunk-33-2.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

]

---

## Hallodri-Modell

>  Kovariiert die Wahrscheinlichkeit `$p_i$` für *Hallodri* `$h_i$` (negativ) mit der (z-standardisierten) Ehezufriedenheit `$r_i$`?

$$
`\begin{align}
h_i &\sim \mathcal{B}(1,p_i) \\
\mathcal{L}(p_i) &= \alpha + \beta \cdot r_i \\
\alpha &\sim \mathcal{N}(0, 2.5) \\
\beta &\sim \mathcal{N}(0, 2.5)
\end{align}`
$$

```r
m_hallodri1 <-
  stan_glm(is_hallodri ~ rating_z, data = d_hallodri, refresh = 0,
           family = binomial(link = "logit"))
```

💣 Der AV liegt eine metrische Variable zugrunde (`affairs`).
Zumeist ist es sinnvoller, 
die informationsreichere metrische Variable zu modellieren.
Die Dichotomisierung zu einer binären Variablen verschenkt viel Information.
Hier zu didaktischen Zwecken.

---

## Hallodri-Modell: Ergebnisse

```r
posterior_interval(m_hallodri1, pars = "(Intercept)") %>% invlogit()
```

```
##                5%   95%
## (Intercept) 0.207 0.267
```

```r
posterior_interval(m_hallodri1, pars = "rating_z")
```

```
##              5%    95%
## rating_z -0.717 -0.414
```

- Bei mittlerer Ehezufriedenheit liegt die Wahrscheinlichkeit eines Seitensprungs bei ca. 21% bis 27% (95%-PI).
- Je höher die Ehezufriedenheit, desto geringer die Wahrscheinlichkeit für einen Seitensprung.
- Laut dem Modell ist `$\beta$` mit hoher Wahrscheinlichkeit negativ.

---

## Vorhersagen bei den Hallordis

>  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Seitensprung, wenn `rating_z = -3`?

Punktschätzer:

```r
predict(m_hallodri1, 
  newdata = tibble(rating_z=-3))
```

```
##     1 
## 0.511
```

95%-PI aus der Post-Verteilung (nicht PPV) als Wahrscheinlichkeit:

```r
posterior_epred(m_hallodri1, 
  newdata = tibble(rating_z = -3)) %>% 
  quantile(prob = c(0.025, .975))
```

```
##  2.5% 97.5% 
## 0.497 0.741
```

]

```r
posterior_epred(m_hallodri1, 
  newdata = tibble(rating_z = -3)) %>% 
  as_tibble() %>% 
  ggplot(aes(x = `1`)) +
  geom_density()
```

]

---

## Visualisierung der Modellfunktion

]

.pull-right[
- Um den charakterischen, s-förmigen Verlauf der logistischen Funktion zu zeigen, ist hier der Wertebereich des Prädiktors übermäßig nach links erweitert.

- Extreme Wahrscheinlichkeiten sind mit weniger Unsicherheit verbunden als mittlere Wahrscheinlichkeiten.

]

---

## Vorhersagen mit Ungewissheit visualisiert

]

]

---

# Teil 3

## Prioris

---

## Prioris bei den Hallodri

```r
prior_summary(m_hallodri1)
```

```
## Priors for model 'm_hallodri1' 
## ------
## Intercept (after predictors centered)
##  ~ normal(location = 0, scale = 2.5)
## 
## Coefficients
##   Specified prior:
##     ~ normal(location = 0, scale = 2.5)
##   Adjusted prior:
##     ~ normal(location = 0, scale = 2.5)
## ------
## See help('prior_summary.stanreg') for more details
```

- Unser Prädiktor ist z-standardisiert.

- Ein Prior für `$\sigma$` gibt es bei Binomialmodellen nicht. Ein Binomialmodell sagt nicht, wie groß die Abweichung vom vorhergesagten Wert ist; es kennt nur "Treffer" oder "daneben".

---

## Priori-Analyse

```r
m_hallodri2 <-
  stan_glm(is_hallodri ~ rating_z, data = d_hallodri, refresh = 0,
           prior_PD = TRUE,
           family = binomial(link = "logit"))
```

```r
m_hallodri2 %>% 
  as_tibble() %>% 
  rename(a = `(Intercept)`) %>% 
  mutate(a_p = invlogit(a)) %>% 
  ggplot(aes(x = a_p)) +
  geom_density()
```

]

]

Unser Golem geht apriori von extremen Wahrscheinlichkeiten des Hallodritums aus: 
Entweder du bist einer 🏩 oder du bist es nicht 🧐.

---

## Uninformativer Prior

```r
m_hallodri3 <-
  stan_glm(is_hallodri ~ rating_z, data = d_hallodri, refresh = 0,
           prior_PD = TRUE,
           prior_intercept = normal(0, 10),
           family = binomial(link = "logit"))
```

```r
m_hallodri3 %>% 
  as_tibble() %>% 
  rename(a = `(Intercept)`) %>% 
  mutate(a_p = invlogit(a)) %>% 
  ggplot(aes(x = a_p)) +
  geom_density()
```

]

]

💡 Je flacher der Priori, 
desto extremer die Priori-Verteilung bei einem Binomial-Modell.

Wir sollten gemäßigtere Prioris bevorzugen.

---

## Gemäßigter Prior

```r
m_hallodri4 <-
  stan_glm(is_hallodri ~ rating_z, data = d_hallodri, refresh = 0,
           prior_PD = TRUE,
           prior_intercept = normal(0, 1),
           family = binomial(link = "logit"))
```

```r
m_hallodri4 %>% 
  as_tibble() %>% 
  rename(a = `(Intercept)`) %>% 
  mutate(a_p = invlogit(a)) %>% 
  ggplot(aes(x = a_p)) +
  geom_density()
```

]

]

👍 Das sieht gut aus!

Dieser Priori ist konservativer, vorsichtiger. 
Er hat keine starke Meinung; 
daher lässt er die Daten stärker zum Sprechen kommen.
Das ist meist zu bevorzugen.

---

# Teil 4

## Binäre UV

---

## Logistische Regression nur mit Achsenabschnitt

- *Lineare* ("normale") Regression nur mit Achsenabschnitt ist identisch zur Schätzung eines *Mittelwerts.*
- Lineare Regression mit einer binären UV ist identisch zur Schätzung eines Unterschieds im Mittelwert zwischen zwei Gruppen.
- Analog dazu entspricht eine *logistische* Regression nur mit Achsenabschnitt dem Schätzen eines *Anteils.*

>   50 Personen werden auf Ignoranzitis getestet (eine schlimme Krankheit), davon 10 Personen positiv. Was ist der Anteil in der Population?

Vermutlich so etwa 20% (wenn die Stichprobe gut ist), plus minus ein bisschen.

Als logistische Regression:

```r
y <- rep(c(0,1), c(40, 10)) # 40 mal 0, 10 mal 1
ignor_df <- tibble(y)
ignor_m <- stan_glm(y ~ 1, data = ignor_df, refresh = 0,
                    family = binomial(link = "logit"))
```

---

## Ergebnisse des Ignoranzitis-Modells

Der Achsenabschnitt ist der Punktschätzer zum Anteil der Ignoranzitis-Positiven (in der Population):

```r
coef(ignor_m)
```

```
## (Intercept) 
##       -1.39
```

Und hier die Ungenauigkeit (Standardfehler) für den Punktschätzer:

```r
se(ignor_m)
```

```
## (Intercept) 
##       0.342
```

]

Der Anteil in der Pr-Skala:

```r
coef(ignor_m) %>% invlogit()
```

```
## (Intercept) 
##         0.2
```

95%-PI des Punktschätzers:

```r
UG <- (coef(ignor_m) - 
  2*se(ignor_m)) %>% invlogit() 
OG <- (coef(ignor_m) + 
  2*se(ignor_m)) %>% invlogit() 
```

UG: 0.11; OG: 0.33.

]

---

## Eine binäre UV

- Die logistische Regression mit einer UV ist äquivalent zum Vergleich zweier Anteile.

>  Zur Bekämpfung der Ignoranzitis wird das Medikament Lisliberin verabreicht. In der Experimentalgruppe (mit Lisliberin) liegt der Anteil von Ignoranzitis danach noch bei 5 von 50. In der Kontrollgruppe liegt der Anteil bei 20 von 60.

```r
gruppe <- rep(c(0, 1), c(50, 60))
ignor <- rep(c(0, 1, 0, 1), c(45, 5, 40, 20))
lisliber_df <- tibble(gruppe, ignor)

lisliber_m <- stan_glm(ignor ~ gruppe, data = lisliber_df, refresh = 0,
                       family = binomial(link = "logit"))
coef(lisliber_m)
se(lisliber_m)
```

```
## (Intercept)      gruppe 
##       -2.23        1.52 
## (Intercept)      gruppe 
##       0.459       0.549
```

---

## Ergebnisse zum Lisliber-Modell

Vorhersagen pro Gruppe in der Pr-Skala bekommt man auch mit `posterior_epred()`:

```r
neu <- tibble(gruppe = c(0,1))
lisliber_post <- posterior_epred(lisliber_m, newdata = neu)
lisliber_post <- lisliber_post %>% 
  as_tibble() %>% 
  mutate(diff_gruppen = `2` - `1`)
```

.pull-left[
Vorhersagen auf Basis der Post-Verteilung (ersten paar Stichproben):
<div id="wgzcunswho" style="overflow-x:auto;overflow-y:auto;width:auto;height:auto;">
<style>html {
  font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, 'Segoe UI', Roboto, Oxygen, Ubuntu, Cantarell, 'Helvetica Neue', 'Fira Sans', 'Droid Sans', Arial, sans-serif;
}

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  border-top-color: #FFFFFF;
  border-top-width: 0;
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  border-right-color: #D3D3D3;
  vertical-align: bottom;
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  display: inline-block;
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  vertical-align: middle;
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#wgzcunswho .gt_from_md > :first-child {
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#wgzcunswho .gt_from_md > :last-child {
  margin-bottom: 0;
}

#wgzcunswho .gt_row {
  padding-top: 8px;
  padding-bottom: 8px;
  padding-left: 5px;
  padding-right: 5px;
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  border-top-style: solid;
  border-top-width: 1px;
  border-top-color: #D3D3D3;
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#wgzcunswho .gt_stub {
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#wgzcunswho .gt_summary_row {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
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#wgzcunswho .gt_first_summary_row {
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#wgzcunswho .gt_first_grand_summary_row {
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#wgzcunswho .gt_striped {
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#wgzcunswho .gt_table_body {
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#wgzcunswho .gt_footnotes {
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}

#wgzcunswho .gt_footnote {
  margin: 0px;
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#wgzcunswho .gt_sourcenotes {
  color: #333333;
  background-color: #FFFFFF;
  border-bottom-style: none;
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  border-bottom-color: #D3D3D3;
  border-left-style: none;
  border-left-width: 2px;
  border-left-color: #D3D3D3;
  border-right-style: none;
  border-right-width: 2px;
  border-right-color: #D3D3D3;
}

#wgzcunswho .gt_sourcenote {
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#wgzcunswho .gt_left {
  text-align: left;
}

#wgzcunswho .gt_center {
  text-align: center;
}

#wgzcunswho .gt_right {
  text-align: right;
  font-variant-numeric: tabular-nums;
}

#wgzcunswho .gt_font_normal {
  font-weight: normal;
}

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  font-weight: bold;
}

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  font-style: italic;
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}

#wgzcunswho .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
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}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">1</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">2</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_right" rowspan="1" colspan="1">diff_gruppen</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.0636</td>
<td class="gt_row gt_right">0.371</td>
<td class="gt_row gt_right">0.307</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.0493</td>
<td class="gt_row gt_right">0.300</td>
<td class="gt_row gt_right">0.251</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_right">0.0482</td>
<td class="gt_row gt_right">0.355</td>
<td class="gt_row gt_right">0.307</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

]

```r
lisliber_post %>% 
  summarise(
   diff_mw = mean(diff_gruppen),
   diff_sd = sd(diff_gruppen))
```

```
## # A tibble: 1 × 2
##   diff_mw diff_sd
##     <dbl>   <dbl>
## 1   0.232  0.0747
```

]

---

# Teil 5

## Modellgüte

---

## Fehlerrate

Die *Fehlerrate* ist definiert als der Anteil für den eine der beiden folgenden Fehler  zutrifft:
  - Fehler 1: `$y_i = 1$` wenn `$Pr(\hat{y_i}) < 0.5$` 
  - Fehler 2: `$y_i = 0$` wenn `$Pr(\hat{y_i}) > 0.5$` 
  
- Die Fehlerrate sollte immer kleiner sein als `$1/2$`: Sonst könnten wir alle `$\beta$`s auf 0 setzen und würden eine bessere Fehlerrate (besseren "Fit") bekommen.
- Man kann die Fehlerrate seines Modells mit dem *Nullmodell* vergleichen, das für alle `$y_i$` die gleiche Wahrscheinlichkeit annimmt.
- Das Nullmodell ist die Regression ohne Prädiktoren (nur mit Achsenabschnitt).
- Die Fehlerrate des Nullmodells entspricht dem Anteil `$p$` von `$y_i = 1$` oder `$1-p$` (je nachdem, welcher Wert von beiden kleiner ist).

([Gelman, Hill, and Vehtari, 2021](#bib-gelman_regression_2021), S. 255)

---

## Fehlerrate berechnen für das Hallodri-Modell

```r
d_hallodri <- 
  d_hallodri %>% 
  mutate(hallodri_pred =  predict(m_hallodri1))
```

```r
d_hallodri <-  
  d_hallodri %>% 
  mutate(wrong_pred = 
     (hallodri_pred>0.5 & is_hallodri==0) |  # Fehler 1
     (hallodri_pred<0.5 & is_hallodri==1))   # Fehler 2

error_rate <-
  d_hallodri %>% 
  summarise(error_rate = mean(wrong_pred))

error_rate
```

```
## # A tibble: 1 × 1
##   error_rate
##        <dbl>
## 1      0.250
```

---

# Hinweise

---

## Zu diesem Skript

- Dieses Skript bezieht sich auf folgende [Lehrbücher](#literatur): 
  - Regression and other stories (Kap. 13); Statistical Rethinking (Kap. 10.2)

- Dieses Skript wurde erstellt am 2021-12-20 11:24:40.

- Lizenz: [MIT-Lizenz](https://github.com/sebastiansauer/QM2-Folien/blob/main/LICENSE)

- Autor: Sebastian Sauer.

- Um die HTML-Folien korrekt darzustellen, ist eine Internet-Verbindung nötig.

- Mit der Taste `?` bekommt man eine Hilfe über Shortcuts für die HTML-Folien.

- Wenn Sie die Endung `.html` in der URL mit `.pdf` ersetzen, bekommen Sie die PDF-Version (bzw. HTML-Version) der Datei.

- Alternativ können Sie im Browser Chrome die Folien als PDF drucken (klicken Sie auf den entsprechenden Menüpunkt).

- Den Quellcode der Skripte finden Sie [hier](https://github.com/sebastiansauer/QM2-Folien/tree/main/Themen).

- Eine PDF-Version aus den HTML-Folien kann erzeugt werden, indem man im Chrome-Browser die Webseite druckt (Drucken als PDF).

---

name: homepage
background-image: url(https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/QM2-Folien/main/img/outro/img9.jpg)
background-size: contain
background-position: left

</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
.right[
### [Homepage](https://sebastiansauer.github.io/bayes-start/)
]

]

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## Literatur

[Diese](https://sebastiansauer.github.io/QM2-Folien/citations.html) R-Pakete wurden verwendet.

.small[
<a
name=bib-gelman_regression_2021></a>[Gelman,
A., J. Hill, and A.
Vehtari](#cite-gelman_regression_2021)
(2021). _Regression and other stories_.
Analytical methods for social research.
Cambridge University Press.

<a
name=bib-mcelreath_statistical_2020></a>[McElreath,
R.](#cite-mcelreath_statistical_2020)
(2020). _Statistical rethinking: a Bayesian
course with examples in R and Stan_. 2nd ed.
CRC texts in statistical science. Taylor and
Francis, CRC Press.

]

---