Abschluss

# Abschluss
## Kapitel 10

---

<style>

.center2 {
  margin: 0;
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  top: 50%;
  left: 50%;
  -ms-transform: translate(-50%, -50%);
  transform: translate(-50%, -50%);
}

</style>

---

## Gliederung

</br>
</br>

2. [Teil 2: Kochrezepte](#teil-2)

3. [Teil 3: Kerngedanken Bayes](#teil-3)

4. [Teil 4: Beispiele für Prüfungsaufgaben](#teil-4)

5. [Hinweise](#hinweise)
]

---

# Teil 1

## Lieblinglingsfehler

</br>
</br>
</br>
</br>
</br>

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## Lieblingsfehler im Überblick 🤷

- Post-Präd-Verteilung (PPV) und Post-Verteilung verwechseln
- Quantile und Verteilungsfunktion verwechseln
- Prädiktoren nicht zentrieren, wenn es einen Interaktionsterm gibt
- Interaktion falsch interpretieren
- Regressionskoeffizienten kausal interpretieren, wenn es keine kausale Fundierung gibt

---

## Post-Präd-Verteilung (PPV) und Post-Verteilung verwechseln 🤷

```r
m1 <- stan_glm(mpg ~ hp, data = mtcars)
```

```r
post_verteilung <- m1 %>% 
  as_tibble()
head(post_verteilung)
```

```
## # A tibble: 6 × 3
##   `(Intercept)`      hp sigma
##           <dbl>   <dbl> <dbl>
## 1          27.8 -0.0564  3.76
## 2          29.7 -0.0633  3.08
## 3          30.1 -0.0697  4.97
## 4          31.6 -0.0723  3.06
## 5          28.2 -0.0559  5.08
## 6          27.8 -0.0510  4.94
```

]

.pull-right[
Die PPV zeigt die Vorhersagen, also keine Parameterwerte, sondern Beobachtungen.
<div id="anhiiaaknv" style="overflow-x:auto;overflow-y:auto;width:auto;height:auto;">
<style>html {
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#anhiiaaknv .gt_first_grand_summary_row {
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#anhiiaaknv .gt_striped {
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  border-right-style: none;
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#anhiiaaknv .gt_sourcenote {
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  text-align: center;
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#anhiiaaknv .gt_super {
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}

#anhiiaaknv .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
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  font-size: 65%;
}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_left" rowspan="1" colspan="1">name</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_center" rowspan="1" colspan="1">value</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_left">Mazda RX4</td>
<td class="gt_row gt_center">24.87113</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">Mazda RX4 Wag</td>
<td class="gt_row gt_center">19.34501</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">Datsun 710</td>
<td class="gt_row gt_center">26.09487</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">Hornet 4 Drive</td>
<td class="gt_row gt_center">24.84667</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">Hornet Sportabout</td>
<td class="gt_row gt_center">23.59572</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

]

---

## Quantile und Verteilungsfuntion verwechseln 🤷

Ein `$p$`-Quantil teilt eine Verteilung in zwei Teile, 
und zwar so, dass mind. `$p$` kleiner oder gleich dem `$p$`-Quantil sind.
<img src="Kapitel_10_chunk-img/quantil-plot-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />

Das 50%-Quantil (.5-Quantil) beträgt `$x=0$`.
Mind ein Anteil `$1-p$` ist größer oder gleich dem `$p$`-Quantil.
]

`$F(x)$` gibt die Wahrscheinlichkeit an der Stelle `$x$` an, 
dass `$X$` einen Wert kleiner oder gleich `$x$` annimmt.

`$F(0)=1/2$`, die Wahrscheinlichkeit beträgt hier 50%, dass `$x$` nicht größer ist als 0.
]

---

## Interaktion falsch interpretieren 🤷

```r
m2 <- stan_glm(mpg ~ hp*vs, data = mtcars)  # mit Interaktionseffekt
```
Modellkoeffizienten:

```
## (Intercept)          hp          vs       hp:vs 
##       24.75       -0.04       13.67       -0.11
```

.pull-left[
### Falsch 😈
Der Unterschied im Verbrauch zwischen den beiden Gruppen `vs=0` und `vs=1` begrägt ca. -0.11.
]

.pull-right[
### Richtig 👼
Der Unterschied im Verbrauch zwischen den beiden Gruppen `vs=0` und `vs=1` beträgt ca. -0.11 -- *wenn* `hp=0`.
]

Da `hp=0` kein realistischer Wert ist, 
ist das Modell schwer zu interpretieren.
Zentrierte Prädiktoren wären eine Lösugn.

</br>

<a name=cite-gelman_regression_2021></a>[Gelman, Hill, and Vehtari (2021, Kap. 10)](#bib-gelman_regression_2021), <a name=cite-mcelreath_statistical_2020></a>[McElreath (2020, Kap. 8)](#bib-mcelreath_statistical_2020)

---

# Teil 2

## Kochrezepte 🍲

---

## Kochrezept: Forschungsfrage untersuchen

*Theoretische Phase*
1. Staunen über ein Phänomen, `$y$`, Kausalfrage finden
2. Literatur wälzen, um mögliche Ursachen `$x$` von `$y$` zu lernen
3. Forschungsfrage, Hypothese präzisieren
4. Modell präzisieren (DAG(s), Prioris)

*Empirische Phase*

5. Versuch planen
6. Daten erheben

*Analytische Phase*

7. Daten aufbereiten
8. Modell berechnen anhand eines oder mehrerer DAGs
9. Modell prüfen/kritisieren
10. Forschungsfrage beantworten

Yeah! Fertig.

---

## Parameter schätzen vs. Hypothesen prüfen

- Quantitative Studien haben oft einen von zwei (formalen) Zielen: Hypothesen testen oder Parameter schätzen.
- Beispiel Hypothesenprüfung: "Frauen parken im Durchschnitt schneller ein als Männer".
- Beispiel Parameterschätzung: "Wie groß ist der mittlere Unterschied in der Ausparkzeit zwischen Frauen und Männern?"
- Je ausgereifter ein Forschungsfeld, desto *kühnere* Hypothesen lassen sich formulieren:
    - stark ausgereift: 
      - Die nächste totale Sonnenfinsternis in Deutschland wird am 27.7.2082 um 14.47h stattfinden, [Quelle](https://www.solar-eclipse.info/de/eclipse/country/DE/)
    - gering ausgereift: 
      - Die nächste Sonnenfinsternis wird in den nächsten 100 Jahren stattfinden.
      - Lernen bringt mehr als Nicht-Lernen für den Klausurerfolg.
- Kühne Hypothesen sind wünschenswert.

---

## Formalisierung von Forschungsfragen

- Der Mittelwert in Gruppe A ist höher als in Gruppe B (der Unterschied, `$d$`, im Mittelwert ist größer als Null):

`$$\mu_1 > \mu_2 \Leftrightarrow \mu_1 - \mu_2 > 0 \Leftrightarrow \mu_d > 0$$`

- Die Korrelation zwischen A und B ist positiv:

`$$\rho(A,B) > 0$$`

- Das Regressionsgewicht von `$x_1$` ist größer als `$k$` (nicht vernachlässigbar):

`$$\beta_{x_1} > k$$`

---

## ROPE als guter Einstieg

Das Rope-Konzept ist ein guter Weg, um eine Theorie bzw. eine Hypothese aus einer Theorie zu prüfen:

1. Leiten Sie aus der Theorie ab, wie groß der Effekt mindestens sein muss, `$k$`
2. Prüfen Sie dann, ob der Hauptteil der Post-Verteilung, z.B. das 95%-PI, 
    - komplett innerhalb, 
    - komplett außerhalb, 
    - oder teils innerhalb teils außerhalb 
  des ROPE liegt.
3. Auf dieser Basis 
    - bestätigen Sie die Nullhypothese
    - verwerfen Sie die Nullhtypothese
    - enthalten Sie sich einer Entscheidung bzgl. der Nullhypothese

- Nullhypothesen zu testen ist verbreitet in der Frequentistischen Statistik.
- Das ROPE-Konzept bietet ein analoges Verfahren auf Basis der Bayes-Statistik.
- Daher ist das ROPE nützlich besonders wenn Anschlussfähigkeit zur Frequentistischen Statistik gefragt ist (z.B. wenn ein Publikum die Frequentistische Statistik gewohnt ist bzw. die Bayes-Statistik nicht kennt).
- Im Frequentismus benutzt man oft den *p-Wert*, um über eine Nullhypothese zu unterscheiden: `$p < .05$` führt zum Verwerfen einer Nullhypothesen, `$p \ge .05$` führt zum Beibehalten.

---

## Übersetzung einer Hypothese in ein Regressionsterm

Vergleich zweier Gruppenmittelwerte:

`$$\mu_1 > \mu_2 \Leftrightarrow \mu_1 - \mu_2 > 0 \Leftrightarrow \mu_d > 0$$`

---

Vergleich von `$g$` Gruppenmittelwerte:

`$$\mu_1 \ne \mu_2 \ne \ldots \ne \mu_g$$`

---

Prüfung auf eine positive Assoziation von `$X$` mit `$Y$`:

`$$\beta_x > 0$$`
.center[`y ~ m`]

Legende: `b`: binäre Variable (0/1); `g`: nominale Variable (Gruppierungsvariable) mit zwei oder mehr Stufen; `y`: metrisches Kriterium der Regression (AV); `x`: Beliebiger Prädiktor einer Regression; `m`: metrischer Prädiktor

---

## Übersetzung Frequentistischer Verfahren in Regressionsterme

<div id="shsbejdjkk" style="overflow-x:auto;overflow-y:auto;width:auto;height:auto;">
<style>html {
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  border-bottom-style: solid;
  border-bottom-width: 2px;
  border-bottom-color: #D3D3D3;
  vertical-align: middle;
}

#shsbejdjkk .gt_from_md > :first-child {
  margin-top: 0;
}

#shsbejdjkk .gt_from_md > :last-child {
  margin-bottom: 0;
}

#shsbejdjkk .gt_row {
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  padding-bottom: 8px;
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  padding-right: 5px;
  margin: 10px;
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  border-right-color: #D3D3D3;
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}

#shsbejdjkk .gt_stub {
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#shsbejdjkk .gt_first_grand_summary_row {
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#shsbejdjkk .gt_striped {
  background-color: rgba(128, 128, 128, 0.05);
}

#shsbejdjkk .gt_table_body {
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#shsbejdjkk .gt_footnotes {
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}

#shsbejdjkk .gt_footnote {
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}

#shsbejdjkk .gt_sourcenotes {
  color: #333333;
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  border-right-color: #D3D3D3;
}

#shsbejdjkk .gt_sourcenote {
  font-size: 90%;
  padding: 4px;
}

#shsbejdjkk .gt_left {
  text-align: left;
}

#shsbejdjkk .gt_center {
  text-align: center;
}

#shsbejdjkk .gt_right {
  text-align: right;
  font-variant-numeric: tabular-nums;
}

#shsbejdjkk .gt_font_normal {
  font-weight: normal;
}

#shsbejdjkk .gt_font_bold {
  font-weight: bold;
}

#shsbejdjkk .gt_font_italic {
  font-style: italic;
}

#shsbejdjkk .gt_super {
  font-size: 65%;
}

#shsbejdjkk .gt_footnote_marks {
  font-style: italic;
  font-weight: normal;
  font-size: 65%;
}
</style>
<table class="gt_table">
  
  <thead class="gt_col_headings">
    <tr>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_left" rowspan="1" colspan="1">Regressionsterm</th>
      <th class="gt_col_heading gt_columns_bottom_border gt_left" rowspan="1" colspan="1">Freqentistischer.Test</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody class="gt_table_body">
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ b</td>
<td class="gt_row gt_left">t-Test (Vergleich zweier Gruppen)</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ g</td>
<td class="gt_row gt_left">Varianzanalyse</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ g + m</td>
<td class="gt_row gt_left">Kovarianzanalyse</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">b ~ g</td>
<td class="gt_row gt_left">Chi-Quadrat-Test</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y_z ~ x_z</td>
<td class="gt_row gt_left">Korrelationstest</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ 1</td>
<td class="gt_row gt_left">Mittelwert schätzen (t-Test)</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">b ~ 1</td>
<td class="gt_row gt_left">Anteil schätzen</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ x + g + x:g</td>
<td class="gt_row gt_left">Interaktion</td></tr>
    <tr><td class="gt_row gt_left">y ~ x*g</td>
<td class="gt_row gt_left">Interaktion</td></tr>
  </tbody>
  
  
</table>
</div>

Legende: s. vorherige Seite; `y_z` bzw. `x_z`: z-standardisierte Variable

---

# Teil 3

## Kerngedanken Bayes

---

## Zentraler Kennwert der Bayes-Statistik: Post-Verteilung

```r
m3 <- stan_glm(mpg ~ hp, data = mtcars)
```

]

- Ein Zusammenfassen der Posterior-Verteilung (z.B. zu einem 95%-PI) ist möglich und oft sinnvoll.
- Verschiedene Arten des Zusammenfassens der Post-Verteilung sind möglich, z.B. zu Mittelwert oder SD oder einem einem HD-Intervall.
- Allerdings übermittelt nur die gesamte Post-Verteilung alle Informationen.
- Daher empfiehlt es sich (oft), die Post-Verteilung zu visualisieren.

]

---

## Posteriori als Produkt von Priori und Likelihood

`$$\text{Posteriori} = \frac{\text{Likelihood} \times \text{Priori}}{\text{Evidenz}}$$`

---

## Bayes' Theorem

`$$Pr(H|D) = \frac{Pr(D|H) Pr(H)}{Pr(D)}$$`

- Bestandteile:

- Posteriori-Wahrscheinlichkeit: `$Pr_{Post}  := Pr(H|D)$`

- Likelihood: `$L := Pr(D|H)$`

- Priori-Wahrscheinlichkeit: `$Pr_{Priori} := Pr(H)$`

- Evidenz: `$E := Pr(D)$`

- Bayes' Theorem gibt die `$Pr_{Post}$` an, wenn man die Gleichung mit der `$Pr_{Priori}$` und dem `$L$` füttert.

- Bayes' Theorem wird häufig verwendet, um die `$Pr_{Post}$` zu quantifizieren.

- Die `$Pr_{Post}$` ist proportional zu `$L \times Pr_{Priori}$`.

---

## Wissen updaten: Wir füttern Daten in das Modell

---

## So denkt unser Bayes-Golem

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## Statistisches Modellieren ist an vielen Stellen subjektiv

- Definition des DAG
- Wahl der Stichprobe
- Wahl der Prädiktoren
- Wahl von Transformationen (z.B. Logarithmus)
- Wahl von Prioris
- Wahl von Intervallgrößen und -arten

Dabei meint "subjektiv", dass die Entscheidung nicht datengeleitet, logisch deduziert oder von der Methode diktiert werden.

Subjektive Entscheidungen können z.B.

- fachlich begründet sein
- ein Konsensus der Scientific Community ausdrücken
- auf Vorwissen früherer Studien beruhen

Generell spricht von *Researchers' degrees of Freedom*,
wenn man (negativ konnotiert) Intransparenz in einem wissenschaftlichen Prozess anprangern (aufzeigen) möchten, vgl. [weiterführende Infos](https://en.wikipedia.org/wiki/Researcher_degrees_of_freedom).

Das Problem ist aber *nicht* "Subjektivität" - sie ist unumgänglich und oft wünschenswert - sondern Intransparenz über "subjektive" Entscheidungen.

---

## Learn to be a good Bayesian

Baba Brinkman

[Quelle](https://music.bababrinkman.com/track/good-bayesian-feat-mc-lars-and-mega-ran)

]

Let me show you how to be a good Bayesian

Change your predictions after takin’ information in

And if you’re thinkin’ I’ll be less than amazin’

Let’s adjust those expectations

What’s a Bayesian? It’s someone who cares about evidence

And doesn’t jump to assumptions based on intuitions and prejudice

A Bayesian makes prediction on the best available info

And adjusts the probability, ‘cause every belief is provisional

And when I kick a flow, mostly I’m watchin’ eyes widen

Maybe ‘cause my likeness lowers expectations of tight rhymin’

How would I know, unless I’m rhymin’ in front of a bunch of blind men?

Droppin’ placebo-controlled science like I’m Richard Feynman

...
]

from The Rap Guide to Consciousness by Baba Brinkman
[YouTube Song](https://www.youtube.com/watch?v=qV6Wc_f1Cgo)
]

---

# Teil 4

## Beispiele für Prüfungsaufgaben

---

## Geben Sie den korrekten Begriff an!

</br>
</br>
</br>
</br>
.center[  🌬🚙🙋️👨⬅️Hans 👧⬅️Anna 👩⬅️Lise  ]

---

## DAG mit doppelter Konfundierung

]

.pull-right[
❓Geben Sie die minimale Adjustierungsmenge (minimal adjustment set) an,
um den totalen (gesamten) Effekt von *E* auf *D* zu bestimmen!

❗ Entweder ist die Menge {A,Z} zu adjustieren oder die Menge {B,Z}.

]

---

## DAG mit vielen Variablen

Minimale Adjustierungsmenge, um den Effekt von E auf D zu identifizieren: {7}, {8}.

---

## Ein Kausalmodell der Schizophrenie, van Kampen (2014)

*The SSQ model of schizophrenic prodromal unfolding revised:*

*An analysis of its causal chains based on the language of directed graphs*

D. van Kampen

Lesen Sie [hier den Abstract](https://www.cambridge.org/core/journals/european-psychiatry/article/abs/ssq-model-of-schizophrenic-prodromal-unfolding-revised-an-analysis-of-its-causal-chains-based-on-the-language-of-directed-graphs/F2E7BBFC1B392616DB894AFBFABE7818).

Folgende Symptome der Schizophrenie wurden gemessen:

Social Anxiety (*SAN*), Active Isolation (*AIS*), Affective Flattening (*AFF*), Suspiciousness (*SUS*), Egocentrism (*EGC*), Living in a Fantasy World (*FTW*), Alienation (*ALN*), Apathy (*APA*), Hostility (*HOS*), Cognitive Derailment (*CDR*), Perceptual Aberrations (*PER*), and Delusional Thinking (*DET*)

<a name=cite-van_kampen_ssq_2014></a>[van
Kampen (2014)](https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0924933800244817/type/journal_article)

UV: *SUS*, AV: *EGC*

Berechnen Sie die minimale Adjustierungsmenge, 
um den kausalen Effekt der UV auf die AV zu identifizieren!

---

## DAG von van Kampen (2014) zu den Symptomen der Schizophrenie

Minimales Adjustment-Set für den totalen Kausaleffekt: {AIS, ALN}

---

# Hinweise

---

## Zu diesem Skript

- Dieses Skript bezieht sich auf folgende [Lehrbücher](#literatur): 
  - Regression and other stories; Statistical Rethinking (jeweils alle behandelten Kapitel)

- Dieses Skript wurde erstellt am 2022-01-10 13:44:01.

- Lizenz: [MIT-Lizenz](https://github.com/sebastiansauer/QM2-Folien/blob/main/LICENSE)

- Autor: Sebastian Sauer.

- Um die HTML-Folien korrekt darzustellen, ist eine Internet-Verbindung nötig.

- Mit der Taste `?` bekommt man eine Hilfe über Shortcuts für die HTML-Folien.

- Wenn Sie die Endung `.html` in der URL mit `.pdf` ersetzen, bekommen Sie die PDF-Version (bzw. HTML-Version) der Datei.

- Alternativ können Sie im Browser Chrome die Folien als PDF drucken (klicken Sie auf den entsprechenden Menüpunkt).

- Den Quellcode der Skripte finden Sie [hier](https://github.com/sebastiansauer/QM2-Folien/tree/main/Themen).

- Eine PDF-Version aus den HTML-Folien kann erzeugt werden, indem man im Chrome-Browser die Webseite druckt (Drucken als PDF).

---

name: homepage
background-image: url(https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/QM2-Folien/main/img/outro/img10.jpg)
background-size: contain
background-position: left

</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
.right[
### [Homepage](https://sebastiansauer.github.io/bayes-start/)
]

]

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## Literatur

[Diese](https://sebastiansauer.github.io/QM2-Folien/citations.html) R-Pakete wurden verwendet.

.small[
<a name=bib-gelman_regression_2021></a>[Gelman, A., J. Hill, and A.
Vehtari](#cite-gelman_regression_2021) (2021). _Regression and other
stories_. Analytical methods for social research. Cambridge University
Press.

<a name=bib-van_kampen_ssq_2014></a>[Kampen, D.
van](#cite-van_kampen_ssq_2014) (2014). "The SSQ model of schizophrenic
prodromal unfolding revised: An analysis of its causal chains based on
the language of directed graphs". In: _European Psychiatry_ 29.7, pp.
437-448. DOI:
[10.1016/j.eurpsy.2013.11.001](https://doi.org/10.1016%2Fj.eurpsy.2013.11.001).

<a name=bib-mcelreath_statistical_2020></a>[McElreath,
R.](#cite-mcelreath_statistical_2020) (2020). _Statistical rethinking:
a Bayesian course with examples in R and Stan_. 2nd ed. CRC texts in
statistical science. Taylor and Francis, CRC Press.

]

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