wuerfel03

probability

dice

Published

October 28, 2022

Exercise

Was ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei fairen Würfeln höchstens 10 Augen zu werfen?

Hinweise:

Nutzen Sie exakte Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung, keine Simulation.
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).

Solution

Erstellen wir uns eine Tabelle, die alle Permutationen der beiden Würfelergebnisse fasst, das sind 36 Paare: (1,1), (1,2), …, (1,6), …, (6,6).

Das kann man von Hand erstellen, halbautomatisch in Excel oder z.B. so:

library(tidyverse)
d <- expand_grid(wuerfel1 = 1:6,
         wuerfel2 = 1:6)

d

wuerfel1	wuerfel2
1	1
1	2
1	3
1	4
1	5
1	6
2	1
2	2
2	3
2	4
2	5
2	6
3	1
3	2
3	3
3	4
3	5
3	6
4	1
4	2
4	3
4	4
4	5
4	6
5	1
5	2
5	3
5	4
5	5
5	6
6	1
6	2
6	3
6	4
6	5
6	6

Jetzt ergänzen wir eine Spalte für die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination, das ist einfach, denn \(p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = 1/36\) gilt.

d2 <-
  d %>% 
  mutate(prob = 1/36)

head(d2)

wuerfel1	wuerfel2	prob
1	1	0.0277778
1	2	0.0277778
1	3	0.0277778
1	4	0.0277778
1	5	0.0277778
1	6	0.0277778

Außerdem ergänzen wir die Summe der Augenzahlen, weil die Frage ja nach einer bestimmten Summe an Augenzahlen abzielt.

d3 <-
  d2 %>% 
  mutate(augensumme = wuerfel1 + wuerfel2)

head(d3)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
1	1	0.0277778	2
1	2	0.0277778	3
1	3	0.0277778	4
1	4	0.0277778	5
1	5	0.0277778	6
1	6	0.0277778	7

Für manche Augensummen gibt es mehrere Möglichkeiten:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 7)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
1	6	0.0277778	7
2	5	0.0277778	7
3	4	0.0277778	7
4	3	0.0277778	7
5	2	0.0277778	7
6	1	0.0277778	7

… für andere weniger:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 12)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
6	6	0.0277778	12

Jetzt summieren wir (nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeit) die Wahrscheinlichkeiten pro Augenzahl:

d4 <- 
  d3 %>% 
  group_by(augensumme) %>% 
  summarise(totale_w_pro_augenzahl = sum(prob))

d4

augensumme	totale_w_pro_augenzahl
2	0.0277778
3	0.0555556
4	0.0833333
5	0.1111111
6	0.1388889
7	0.1666667
8	0.1388889
9	0.1111111
10	0.0833333
11	0.0555556
12	0.0277778

Test: Die Summe der Wahrscheinlichkeit muss insgesamt 1 sein.

d4 %>% 
  summarise(sum(totale_w_pro_augenzahl))

sum(totale_w_pro_augenzahl)
1

Und:

d2 %>% 
  summarise(sum(prob))

sum(prob)
1

Passt!

Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme von höchstens 10 beträgt also:

loesung <-
  d4 %>% 
  filter(augensumme <= 10) %>% 
  summarise(prob_sum = sum(totale_w_pro_augenzahl)) %>% 
  pull(prob_sum)

loesung

[1] 0.9166667

Categories:

probability
dice

---
exname: wuerfel03
extype: num
exsolution: r loesung
exshuffle: no
extol: 1
expoints: 1
categories:
- probability
- dice
date: '2022-10-28'
slug: wuerfel03
title: wuerfel03

---








```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```









# Exercise

Was ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei fairen Würfeln höchstens 10 Augen zu werfen?

Hinweise:

- Nutzen Sie exakte Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung, keine Simulation.
- Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).


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# Solution

Erstellen wir uns eine Tabelle, die alle Permutationen der beiden Würfelergebnisse fasst,
das sind 36 Paare: (1,1), (1,2), ..., (1,6), ..., (6,6).

Das kann man von Hand erstellen, halbautomatisch in Excel oder z.B. so:

```{r}
library(tidyverse)
d <- expand_grid(wuerfel1 = 1:6,
         wuerfel2 = 1:6)

d
```


Jetzt ergänzen wir eine Spalte für die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination,
das ist einfach, denn $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = 1/36$ gilt.



```{r}
d2 <-
  d %>% 
  mutate(prob = 1/36)

head(d2)
```


Außerdem ergänzen wir die Summe der Augenzahlen,
weil die Frage ja nach einer bestimmten Summe an Augenzahlen abzielt.


```{r}
d3 <-
  d2 %>% 
  mutate(augensumme = wuerfel1 + wuerfel2)

head(d3)
```



Für manche Augensummen gibt es mehrere Möglichkeiten:

```{r}
d3 %>% 
  filter(augensumme == 7)
```


... für andere weniger:


```{r}
d3 %>% 
  filter(augensumme == 12)
```


Jetzt summieren wir (nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeit) die Wahrscheinlichkeiten pro Augenzahl:


```{r}
d4 <- 
  d3 %>% 
  group_by(augensumme) %>% 
  summarise(totale_w_pro_augenzahl = sum(prob))

d4
```


Test: Die Summe der Wahrscheinlichkeit muss insgesamt 1 sein.


```{r}
d4 %>% 
  summarise(sum(totale_w_pro_augenzahl))
```


Und:

```{r}
d2 %>% 
  summarise(sum(prob))
```


Passt!


Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme von höchstens 10 beträgt also:


```{r}
loesung <-
  d4 %>% 
  filter(augensumme <= 10) %>% 
  summarise(prob_sum = sum(totale_w_pro_augenzahl)) %>% 
  pull(prob_sum)

loesung
```





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Categories: 

- probability
- dice