wuerfel01

Aufgabe

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei fairen Würfeln genau 10 Augen zu werfen?

Hinweise:

• Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
• Runden Sie auf zwei Dezimalstellen.
• Fixieren Sie die Zufallszahlen auf den Startwert 42.
• Mit expand_grid können Sie komfortabel alle 36 Ereignisse dieses Zufallsexperiments in einen Dataframe bringen.

Wählen Sie die am besten passende Option:

Answerlist

• .04
• .08
• .12
• .16
• .20

Lösung

Erstellen wir uns eine Tabelle, die alle Permutationen der beiden Würfelergebnisse fasst, das sind 36 Paare: (1,1), (1,2), …, (1,6), …, (6,6).

Das kann man von Hand erstellen, halbautomatisch in Excel oder z.B. so:

library(tidyverse)
d <- expand_grid(wuerfel1 = 1:6,
         wuerfel2 = 1:6)
d

wuerfel1	wuerfel2
1	1
1	2
1	3
1	4
1	5
1	6
2	1
2	2
2	3
2	4
2	5
2	6
3	1
3	2
3	3
3	4
3	5
3	6
4	1
4	2
4	3
4	4
4	5
4	6
5	1
5	2
5	3
5	4
5	5
5	6
6	1
6	2
6	3
6	4
6	5
6	6

Jetzt ergänzen wir eine Spalte für die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination, das ist einfach, denn \(p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = 1/36\) gilt.

d2 <-
  d %>% 
  mutate(prob = 1/36)

head(d2)

wuerfel1	wuerfel2	prob
1	1	0.0277778
1	2	0.0277778
1	3	0.0277778
1	4	0.0277778
1	5	0.0277778
1	6	0.0277778

Außerdem ergänzen wir die Summe der Augenzahlen, weil die Frage ja nach einer bestimmten Summe an Augenzahlen abzielt.

d3 <-
  d2 %>% 
  mutate(augensumme = wuerfel1 + wuerfel2)

head(d3)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
1	1	0.0277778	2
1	2	0.0277778	3
1	3	0.0277778	4
1	4	0.0277778	5
1	5	0.0277778	6
1	6	0.0277778	7

Für manche Augensummen gibt es mehrere Möglichkeiten:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 7)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
1	6	0.0277778	7
2	5	0.0277778	7
3	4	0.0277778	7
4	3	0.0277778	7
5	2	0.0277778	7
6	1	0.0277778	7

… für andere weniger:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 12)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
6	6	0.0277778	12

Jetzt summieren wir (nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeit) die Wahrscheinlichkeiten pro Augenzahl:

d4 <- 
  d3 %>% 
  group_by(augensumme) %>% 
  summarise(totale_w_pro_augenzahl = sum(prob))

d4

augensumme	totale_w_pro_augenzahl
2	0.0277778
3	0.0555556
4	0.0833333
5	0.1111111
6	0.1388889
7	0.1666667
8	0.1388889
9	0.1111111
10	0.0833333
11	0.0555556
12	0.0277778

Test: Die Summe der Wahrscheinlichkeit muss insgesamt 1 sein.

d4 %>% 
  summarise(sum(totale_w_pro_augenzahl))

sum(totale_w_pro_augenzahl)
1

Und:

d2 %>% 
  summarise(sum(prob))

sum(prob)
1

Passt!

Wie viele Möglichkeiten eine 10 zu werfen gibt es? Schauen wir nach:

d3 |> 
  filter(augensumme == 10)

wuerfel1	wuerfel2	prob	augensumme
4	6	0.0277778	10
5	5	0.0277778	10
6	4	0.0277778	10

Es gibt also 3 Möglichkeiten, eine 10 zu werfen (4+6, 5+5, 6+4). Die Wahrscheinlichkeit, eine 10 zu werfen beträgt also 3 * 1/36 = 3/36 = 1/12, das sind ca. 8% bzw. 0.08.

Lösung: .08

[1] 0.08333333

Answerlist

• Falsch.
• Wahr.
• Falsch.
• Falsch.
• Falsch.

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Categories:

• probability
• dice
• exam-22