wuerfel01

Aufgabe

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei fairen Würfeln genau 10 Augen zu werfen?

Hinweise:

• Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
• Runden Sie auf zwei Dezimalstellen.
• Fixieren Sie die Zufallszahlen auf den Startwert 42.
• Mit expand_grid können Sie komfortabel alle 36 Ereignisse dieses Zufallsexperiments in einen Dataframe bringen.

Wählen Sie die am besten passende Option:

Answerlist

• .04
• .08
• .12
• .16
• .20

Lösung

Erstellen wir uns eine Tabelle, die alle Permutationen der beiden Würfelergebnisse fasst, das sind 36 Paare: (1,1), (1,2), …, (1,6), …, (6,6).

Das kann man von Hand erstellen, halbautomatisch in Excel oder z.B. so:

library(tidyverse)
d <- expand_grid(wuerfel1 = 1:6,
         wuerfel2 = 1:6)
d

# A tibble: 36 × 2
   wuerfel1 wuerfel2
      <int>    <int>
 1        1        1
 2        1        2
 3        1        3
 4        1        4
 5        1        5
 6        1        6
 7        2        1
 8        2        2
 9        2        3
10        2        4
# ℹ 26 more rows

Jetzt ergänzen wir eine Spalte für die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination, das ist einfach, denn \(p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = 1/36\) gilt.

d2 <-
  d %>% 
  mutate(prob = 1/36)

head(d2)

# A tibble: 6 × 3
  wuerfel1 wuerfel2   prob
     <int>    <int>  <dbl>
1        1        1 0.0278
2        1        2 0.0278
3        1        3 0.0278
4        1        4 0.0278
5        1        5 0.0278
6        1        6 0.0278

Außerdem ergänzen wir die Summe der Augenzahlen, weil die Frage ja nach einer bestimmten Summe an Augenzahlen abzielt.

d3 <-
  d2 %>% 
  mutate(augensumme = wuerfel1 + wuerfel2)

head(d3)

# A tibble: 6 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        1        1 0.0278          2
2        1        2 0.0278          3
3        1        3 0.0278          4
4        1        4 0.0278          5
5        1        5 0.0278          6
6        1        6 0.0278          7

Für manche Augensummen gibt es mehrere Möglichkeiten:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 7)

# A tibble: 6 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        1        6 0.0278          7
2        2        5 0.0278          7
3        3        4 0.0278          7
4        4        3 0.0278          7
5        5        2 0.0278          7
6        6        1 0.0278          7

… für andere weniger:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 12)

# A tibble: 1 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        6        6 0.0278         12

Jetzt summieren wir (nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeit) die Wahrscheinlichkeiten pro Augenzahl:

d4 <- 
  d3 %>% 
  group_by(augensumme) %>% 
  summarise(totale_w_pro_augenzahl = sum(prob))

d4

# A tibble: 11 × 2
   augensumme totale_w_pro_augenzahl
        <int>                  <dbl>
 1          2                 0.0278
 2          3                 0.0556
 3          4                 0.0833
 4          5                 0.111 
 5          6                 0.139 
 6          7                 0.167 
 7          8                 0.139 
 8          9                 0.111 
 9         10                 0.0833
10         11                 0.0556
11         12                 0.0278

Test: Die Summe der Wahrscheinlichkeit muss insgesamt 1 sein.

d4 %>% 
  summarise(sum(totale_w_pro_augenzahl))

# A tibble: 1 × 1
  `sum(totale_w_pro_augenzahl)`
                          <dbl>
1                             1

Und:

d2 %>% 
  summarise(sum(prob))

# A tibble: 1 × 1
  `sum(prob)`
        <dbl>
1           1

Passt!

Wie viele Möglichkeiten eine 10 zu werfen gibt es? Schauen wir nach:

d3 |> 
  filter(augensumme == 10)

# A tibble: 3 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        4        6 0.0278         10
2        5        5 0.0278         10
3        6        4 0.0278         10

Es gibt also 3 Möglichkeiten, eine 10 zu werfen (4+6, 5+5, 6+4). Die Wahrscheinlichkeit, eine 10 zu werfen beträgt also 3 * 1/36 = 3/36 = 1/12, das sind ca. 8% bzw. 0.08.

Lösung: .08

[1] 0.08333333

Answerlist

• Falsch.
• Wahr.
• Falsch.
• Falsch.
• Falsch.

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