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Published

December 12, 2024

Aufgabe

Geprüft werden soll folgende Hypothese:

Autos mit wenig PS sind sparsamer als Autos mit viel PS.

Dafür ist folgende Analyse gegeben.

Setup

library(rstanarm)
library(easystats)
library(tidyverse)
library(ggpubr)

data(mtcars)

Modell und Hypothese

Die Variable mpg (Miles per Gallone) misst die Spritsparsamkeit.

Die Hypothese kann man wie folgt formalisieren:

\[\text{mpg}_{PS=1} < \text{mpg}_{PS=0},\]

“Die mittlere Spritsparsamkeit von Autos mit viel PS ist kleiner als die von Autos mit viel PS”.

Dabei meint $PS=0$ die Autos mit wenig PS (und $PS=1$ die Autos mit viel PS).

Man beachte, dass man i.d.R. Hypothesen zum Mittelwert formulieren möchte, nicht allgemein für alle Autos.

Die Prioris übernehmen wir vom Stan-Golem.🤖

🤖 Beep, beep!

👩‍🏫 An die Arbeit, Stan-Golem!

Vorverarbeitung

Wir definieren PS als eine binäre Variable, die angibt, ob ein Auto mehr oder weniger PS hat als der Median der PS-Werte:

mtcars <-
  mtcars |> 
  mutate(PS_high = case_when(
    hp > median(hp) ~ TRUE,
    hp <= median(hp) ~ FALSE
  )) |> 
  mutate(PS_high = as.factor(PS_high))

Modell berechnen

m <- stan_glm(mpg ~ PS_high,  # Regressionsformel
              data = mtcars,  # Datensatz
              refresh = 0,  # Nicht so viel Detail-Ausgabe
              seed = 42)  # Reproduzierbarkeit

Hier sind die Modellparameter:

parameters(m)

Parameter	Median	CI	CI_low	CI_high	pd	Rhat	ESS	Prior_Distribution	Prior_Location	Prior_Scale
(Intercept)	24.219612	0.95	22.07170	26.170915	1	1.0007744	3505.490	normal	20.09062	15.06737
PS_highTRUE	-8.802191	0.95	-11.61645	-5.804179	1	0.9995466	3526.436	normal	0.00000	29.71825

Der Effekt von PS ist negativ, was bedeutet, dass Autos der Gruppe PS=1 einen um ca. 9 Meilen geringeren MPG-Wert haben als Autos der Gruppe PS=0. Das bedeutet, dass Autos menig PS sparsamer sind (als Autos mit viel PS).

Umgekehrt: Autos mit viel PS einen höheren Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS.

Man beachte, dass in der Zeile PS_highTRUE der Effekt von PS=1 steht, also der Effekt von Autos mit viel PS. Der Effekt besteht im Unterschied zum Mittelwert der Autos mit wenig PS, der in der Zeile des Achsenabschnitts (Intercept) dargestellt ist.

Post-Verteilung auslesen

Hier ist das HDI (95%) zum Effekt von PS:

hdi(m) |> plot()

Aufgabe

Sprechen die Ergebnisse dafür, dass Autos mit wenig PS einen geringen Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS? Begründen Sie.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist (laut unserem Modell)?
Was ist Ihr Punktschätzer für den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS?
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS zwischen welchen Werten (laut unserem Modell)?
Geben Sie die Skalenniveaus der Variablen in der Regressionsformel an.

Lösung

Ja, die Ergebnisse sprechen dafür, dass Autos mit wenig PS einen gerinen Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS. Die Posterior-Verteilung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese sehr hoch ist: Alle Stichproben sind bzw. die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse ist kleiner als Null.

Der Parameter für PS ist negativ, was bedeutet, dass Autos mit viel PS einen höheren Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS. Das sieht man schon in den Stichprobendaten:

ggboxplot(mtcars, 
          x = "PS_high", y = "mpg", 
          title = "Spritverbrauch nach PS: Autos mit viel PS brauchen mehr Sprit als Autos mit wenig PS",
          subtitle = "rote Punkte: Mittelwert der Gruppe",
          add = "mean", 
          add.params = list(size = 1.5, color = "red"))

Man sieht in der Visualisierung der Post-Verteilung, dass die komplette Wahrscheinlichkeitsmasse kleiner als Null ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist, sehr hoch ist, gegen 1 geht.

Ca. -8.8 mpg-Einheiten ist ein guter Punktschätzer für den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS. In der Ausgabetabelle (parameters()) ist der Wert exakt angegeben.
Den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen -5.8 und -11.62.

Das kann man der Parameter-Tabelle entnehmen. Man sieht es auch im Diagramm recht gut.

UV: binär, AV: kontinuierlich

--- date: 2024-12-12 draft: FALSE # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE! title: Wskt-Schluckspecht2a execute: eval: true highlight-style: arrow cache: true extype: string exsolution: "" exshuffle: no categories: - post # ENTER CATEGORIES HERE - bayes - mtcars - paper knitr: opts_chunk: out.width: "75%" --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 6, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, warning = FALSE, message = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Geprüft werden soll folgende Hypothese: > Autos mit wenig PS sind _sparsamer_ als Autos mit viel PS. Dafür ist folgende Analyse gegeben. ## Setup ```{r} library(rstanarm) library(easystats) library(tidyverse) library(ggpubr) ``` ```{r} data(mtcars) ``` ## Modell und Hypothese Die Variable `mpg` (Miles per Gallone) misst die *Spritsparsamkeit*. Die Hypothese kann man wie folgt formalisieren: $$\text{mpg}_{PS=1} < \text{mpg}_{PS=0},$$ "Die mittlere Spritsparsamkeit von Autos mit viel PS ist kleiner als die von Autos mit viel PS". Dabei meint $PS=0$ die Autos mit wenig PS (und $PS=1$ die Autos mit viel PS). Man beachte, dass man i.d.R. Hypothesen zum Mittelwert formulieren möchte, nicht allgemein für alle Autos. Die Prioris übernehmen wir vom Stan-Golem.🤖 > 🤖 Beep, beep! > 👩‍🏫 An die Arbeit, Stan-Golem! ## Vorverarbeitung Wir definieren PS als eine binäre Variable, die angibt, ob ein Auto mehr oder weniger PS hat als der Median der PS-Werte: ```{r} mtcars <- mtcars |> mutate(PS_high = case_when( hp > median(hp) ~ TRUE, hp <= median(hp) ~ FALSE )) |> mutate(PS_high = as.factor(PS_high)) ``` ## Modell berechnen ```{r} m <- stan_glm(mpg ~ PS_high, # Regressionsformel data = mtcars, # Datensatz refresh = 0, # Nicht so viel Detail-Ausgabe seed = 42) # Reproduzierbarkeit ``` Hier sind die Modellparameter: ```{r} parameters(m) ``` Der Effekt von PS ist negativ, was bedeutet, dass Autos der Gruppe `PS=1` einen um ca. 9 Meilen geringeren MPG-Wert haben als Autos der Gruppe `PS=0`. Das bedeutet, dass Autos menig PS sparsamer sind (als Autos mit viel PS). Umgekehrt: Autos mit viel PS einen höheren Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS. Man beachte, dass in der Zeile `PS_highTRUE` der Effekt von `PS=1` steht, also der Effekt von Autos mit viel PS. Der Effekt besteht im Unterschied zum Mittelwert der Autos mit wenig PS, der in der Zeile des Achsenabschnitts `(Intercept)` dargestellt ist. ## Post-Verteilung auslesen Hier ist das HDI (95%) zum Effekt von `PS`: ```{r} #| out-width: 75% hdi(m) |> plot() ``` **Aufgabe** 1. Sprechen die Ergebnisse dafür, dass Autos mit wenig PS einen geringen Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS? Begründen Sie. 2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist (laut unserem Modell)? 3. Was ist Ihr Punktschätzer für den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS? 4. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS zwischen welchen Werten (laut unserem Modell)? 5. Geben Sie die Skalenniveaus der Variablen in der Regressionsformel an. # Lösung 1. Ja, die Ergebnisse sprechen dafür, dass Autos mit wenig PS einen gerinen Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS. Die Posterior-Verteilung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese sehr hoch ist: Alle Stichproben sind bzw. die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse ist kleiner als Null. Der Parameter für `PS` ist negativ, was bedeutet, dass Autos mit viel PS einen höheren Spritverbrauch haben als Autos mit wenig PS. Das sieht man schon in den Stichprobendaten: ```{r} ggboxplot(mtcars, x = "PS_high", y = "mpg", title = "Spritverbrauch nach PS: Autos mit viel PS brauchen mehr Sprit als Autos mit wenig PS", subtitle = "rote Punkte: Mittelwert der Gruppe", add = "mean", add.params = list(size = 1.5, color = "red")) ``` 2. Man sieht in der Visualisierung der Post-Verteilung, dass die komplette Wahrscheinlichkeitsmasse kleiner als Null ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr ist, sehr hoch ist, gegen 1 geht. ```{r} #| echo: false m_params <- parameters(m) ``` 3. Ca. `r round(m_params$Median[2], 1)` mpg-Einheiten ist ein guter Punktschätzer für den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS. In der Ausgabetabelle (`parameters()`) ist der Wert exakt angegeben. 4. Den Unterschied im Spritverbrauch zwischen Autos mit viel und wenig PS liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen `r round(m_params$CI_high[2], 2)` und `r round(m_params$CI_low[2], 2)`. Das kann man der Parameter-Tabelle entnehmen. Man sieht es auch im Diagramm recht gut. 5. UV: binär, AV: kontinuierlich