wskt-quiz08

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probability

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quiz1-qm2-ws23

schoice

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Mehrere Proben werden zu einem unbekannten Planeten geschossen. Die Forschungsfrage lautet: Ist es die Erde (70% Wasseranteil) oder der Planet “Bath42” mit 90% Wasseranteil?

Wir sind indifferent (apriori) zu den Parameterwerten.

Daten: 6 Treffer (Wasser) von 9 Versuchen (Proben).

Behauptung: “Das ist fast sicher Bath42!”.

Ist die Wahrscheinlichkeit höher für Bath42 (als für die Erde)?

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Answerlist

Falsch
Wahr

Lösung

Da wir indifferent apriori sind, ist der Parameterwert mit der höchsten Likelihood am wahrscheinlichsten. Der höchsten Likelihood hat der Parameter, der gleich den Daten ist. Das ist:

6/9

[1] 0.6666667

Schauen wir uns die Likelihoods für alle Parameterwerte $0, 0.1, 0.2, \ldots, 1$ an.

Hier ist eine Sequenz dieser Parameterwerte:

parameterwerte <- seq(0, 1, by = .1)
parameterwerte

 [1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Und hier sind die zugehörigen Likelihoods:

library(tidyverse)

likelihoods <-
  tibble(
    parameterwerte = parameterwerte,
    likelihoods = dbinom(x = 6, size = 9, prob = parameterwerte))

likelihoods

# A tibble: 11 × 2
   parameterwerte likelihoods
            <dbl>       <dbl>
 1            0     0        
 2            0.1   0.0000612
 3            0.2   0.00275  
 4            0.3   0.0210   
 5            0.4   0.0743   
 6            0.5   0.164    
 7            0.6   0.251    
 8            0.7   0.267    
 9            0.8   0.176    
10            0.9   0.0446   
11            1     0

Wie man sieht, hat der Parameterwert, der den Daten (6/9) am nächsten kommt, die höchste Likelihood.

Die Post-Wahrscheinlichkeit können in gewohnter Manier mit Bayes’ Theorem berechnen. Vielleicht am einfachsten mit der Bayes-Box.

Eine Funktion, die die Bayes-Box berechnet, kann man sich so importieren:

# devtools::install_github("https://github.com/sebastiansauer/prada")  installieren
library(prada)

Oder so:

source("https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/prada/master/R/NAME_bayesbox.R")

Unsere Informationen sind:

p_Erde <- .5
p_Bath42 <- .5
Lik_Erde <- dbinom(x = 7, size = 9, prob = .7)
Lik_Bath42 <- dbinom(x = 7, size = 9, prob = .9)

bb <- bayesbox(hyps = c("Erde", "Bath42"), 
               priors = 1, 
               liks = c(Lik_Erde, Lik_Bath42))
bb

    hyps priors      liks post_unstand post_std
1   Erde      1 0.2668279    0.2668279 0.607788
2 Bath42      1 0.1721869    0.1721869 0.392212

Falsch. Die Daten sprechen eher für die Erde.

Answerlist

Falsch
Wahr

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--- exname: wskt-quiz08 extype: schoice exsolution: 10 exshuffle: no categories: - quiz - probability - bayes - quiz1-qm2-ws23 - schoice date: '2023-11-08' slug: wskt-quiz08 title: wskt-quiz08 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, # ECHO IS FALSE!!! message = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Mehrere Proben werden zu einem unbekannten Planeten geschossen. Die Forschungsfrage lautet: Ist es die Erde (70% Wasseranteil) oder der Planet "Bath42" mit 90% Wasseranteil? Wir sind indifferent (apriori) zu den Parameterwerten. Daten: 6 Treffer (Wasser) von 9 Versuchen (Proben). Behauptung: "Das ist fast sicher Bath42!". Ist die Wahrscheinlichkeit höher für Bath42 (als für die Erde)? Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). Answerlist ---------- * Falsch * Wahr # Lösung Da wir indifferent apriori sind, ist der Parameterwert mit der höchsten Likelihood am wahrscheinlichsten. Der höchsten Likelihood hat der Parameter, der gleich den Daten ist. Das ist: ```{r} 6/9 ``` Schauen wir uns die Likelihoods für alle Parameterwerte $0, 0.1, 0.2, \ldots, 1$ an. Hier ist eine *Seq*uenz dieser Parameterwerte: ```{r} parameterwerte <- seq(0, 1, by = .1) parameterwerte ``` Und hier sind die zugehörigen Likelihoods: ```{r} library(tidyverse) likelihoods <- tibble( parameterwerte = parameterwerte, likelihoods = dbinom(x = 6, size = 9, prob = parameterwerte)) likelihoods ``` Wie man sieht, hat der Parameterwert, der den Daten (6/9) am nächsten kommt, die höchste Likelihood. Die Post-Wahrscheinlichkeit können in gewohnter Manier mit Bayes' Theorem berechnen. Vielleicht am einfachsten mit der Bayes-Box. Eine Funktion, die die Bayes-Box berechnet, kann man sich so importieren: ```{r} # devtools::install_github("https://github.com/sebastiansauer/prada") installieren library(prada) ``` Oder so: ```{r} source("https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/prada/master/R/NAME_bayesbox.R") ``` Unsere Informationen sind: ```{r} p_Erde <- .5 p_Bath42 <- .5 Lik_Erde <- dbinom(x = 7, size = 9, prob = .7) Lik_Bath42 <- dbinom(x = 7, size = 9, prob = .9) ``` ```{r} bb <- bayesbox(hyps = c("Erde", "Bath42"), priors = 1, liks = c(Lik_Erde, Lik_Bath42)) bb ``` Falsch. Die Daten sprechen eher für die Erde. Answerlist ---------- * *Falsch* * Wahr --- Categories: - quiz - probability - bayes - quiz1-qm2-ws23 - schoice