wskt-mtcars-1l

post

bayes

regression

mtcars

Published

January 1, 2023

Aufgabe

Prüfen Sie folgende Hypothese:

Ein Auto mit manueller Schaltung hat pro Gallone Sprit mind. 5 Meilen mehr Reichweite als ein Auto mit Automatikschaltung (ceteris paribus).

Quantifizieren Sie die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothese!

Hinweise:

Nutzen Sie die Bayes-Statistik mit Stan.
Beachten Sie die Standardhinweise des Datenwerks.
Verwenden Sie den Datensatz mtcars.

Lösung

Setup

library(rstanarm)
library(easystats)
library(tidyverse)

data(mtcars)

Modell

Die Hypothese kann man wie folgt formalisieren:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Manuellschalter eine höhere Reichweite haben, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass Automatikschalter eine höhere Reichweite haben:

\[Pr(mpg_M > mpg_A) > Pr(mpg_M <= mpg_A)\]

Oder anders gesagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Automatikschalter eine höhere Reichweite haben (pro Gallone Sprit und im Vergleich zu Automatikschalter) ist größer als 50%.

\[Pr(mpg_M > mpg_A) > 1/2\] 3. Möchte man noch hinzufügen, dass sich diese Behauptung auf ein bestimmtes, nämlich unser Regressionsmodell bezieht, kann man schreiben:

\[Pr(mpg_M > mpg_A \quad | \beta_0, \beta_1, \sigma)\]

Modell berechnen

m <- stan_glm(mpg ~ am,
              data = mtcars,
              refresh = 0,
              seed = 42)

parameters(m)

Parameter   | Median |         95% CI |     pd |  Rhat |     ESS |                   Prior
------------------------------------------------------------------------------------------
(Intercept) |  17.14 | [14.85, 19.51] |   100% | 0.999 | 3739.00 | Normal (20.09 +- 15.07)
am          |   7.21 | [ 3.72, 10.70] | 99.95% | 0.999 | 3755.00 |  Normal (0.00 +- 30.20)

Post-Verteilung auslesen

m_post <-
  m |>
  as_tibble()

prop <- 
m_post |> 
  count(am >= 5) |> 
  mutate(prop = n/sum(n))

prop

# A tibble: 2 × 3
  `am >= 5`     n  prop
  <lgl>     <int> <dbl>
1 FALSE       431 0.108
2 TRUE       3569 0.892

Antwort

Laut unserem Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit für obige Hypothese 0.89.

---
date: 2023-01-01
draft: FALSE   # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE!
title: wskt-mtcars-1l 

execute: 
  eval: true 
  
highlight-style: arrow 
cache: true


extype: string
exsolution: ""
exshuffle: no
categories:
- post  # ENTER CATEGORIES HERE
- bayes
- regression
- mtcars
---








```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe


Prüfen Sie folgende Hypothese:

>    Ein Auto mit manueller Schaltung hat pro Gallone Sprit mind. 5 Meilen mehr Reichweite als ein Auto mit Automatikschaltung (ceteris paribus).


Quantifizieren Sie die Wahrscheinlichkeit dieser Hypothese!

Hinweise:


- Nutzen Sie die Bayes-Statistik mit `Stan`. 
- Beachten Sie die [Standardhinweise des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise).
- Verwenden Sie den Datensatz `mtcars`.


</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>

# Lösung


## Setup

```{r}
library(rstanarm)
library(easystats)
library(tidyverse)
```

```{r}
data(mtcars)
```


## Modell

Die Hypothese kann man wie folgt formalisieren:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass Manuellschalter eine höhere Reichweite haben, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass Automatikschalter eine höhere Reichweite haben:

$$Pr(mpg_M > mpg_A) > Pr(mpg_M <= mpg_A)$$

2. Oder anders gesagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Automatikschalter eine höhere Reichweite haben (pro Gallone Sprit und im Vergleich zu Automatikschalter) ist größer als 50%.

$$Pr(mpg_M > mpg_A) > 1/2$$
3. Möchte man noch hinzufügen, dass sich diese Behauptung auf ein bestimmtes, nämlich unser Regressionsmodell bezieht, kann man schreiben:


$$Pr(mpg_M > mpg_A \quad | \beta_0, \beta_1, \sigma)$$

## Modell berechnen

```{r}
m <- stan_glm(mpg ~ am,
              data = mtcars,
              refresh = 0,
              seed = 42)
```


```{r}
parameters(m)
```




## Post-Verteilung auslesen

```{r}
m_post <-
  m |>
  as_tibble()

prop <- 
m_post |> 
  count(am >= 5) |> 
  mutate(prop = n/sum(n))

prop
```


```{r}
#| echo: false
sol <- prop |> filter(`am >= 5` == TRUE) |> pull(prop) |> round(2)
```


## Antwort

Laut unserem Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit für obige Hypothese `r sol`.