wskt-df-r

probability

computer

Published

January 18, 2024

Question

In dieser Aufgabe betrachten wir typische Relationen von Ereignissen, um typische Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu beantworten.

Gegeben sei folgender Datensatz d:

#echo: true
d <-
  data.frame(
    A = c(1, 1, 0, 0),
    B = c(1, 0, 1, 0)
  )

d

A	B
1	1
1	0
0	1
0	0

Der Datensatz d stellt alle vier Kombinationen der beiden Variablen A und B da (wir gehen davon aus, dass es sich um binäre Variablen, wie Ereignisse, handelt, der Einfachheit halber).

Dabei steht A == 1 für $A$ (Ereignis $A$ ist der Fall) und A == 0 für $\neg A$, A tritt nicht ein, ist nicht der Fall.

Generell wird in der Wissenschaft und Technik 0 für “nein, falsch” und 1 für “ja, wahr, richtig” verwendet.

Aufgabe: Berechnen Sie mit R $Pr(A\cap B), Pr(\neg A\cap B), Pr(A\cup B), Pr(A|B), Pr(B|A)$!

Solution

Gesucht sind mehrere Relationen: $Pr(A\cap B), Pr(\neg A\cap B), Pr(A\cup B), Pr(A|B), Pr(B|A)$

Setup

library(tidyverse)

Hier ist unserer Datentabelle d, wie oben erstellt::

A	B
1	1
1	0
0	1
0	0

$Pr(A\cap B)$

d |> 
  filter(A == 1 & B == 1)

A	B
1	1

Also 1 von 4 Zeilen, das heißt 1/4 oder .25.

Man kann das auch mit count ausrechnen:

d |> 
  count(A == 1 & B == 1)

A == 1 & B == 1	n
FALSE	3
TRUE	1

Der Operator & steht für das logische “UND” (Schnitt, intersect).

Und so kann man sich noch die Anteile ausrechnen lassen:

d |> 
  count(A == 1 & B == 1) |> 
  mutate(Anteil = n / sum(n))

A == 1 & B == 1	n	Anteil
FALSE	3	0.75
TRUE	1	0.25

$Pr(\neg A\cap B)$

$Pr(\neg A\cap B)$ ist im Prinzip identisch zum Schnitt ohne Negation:

d |> 
  count(A == 0 & B == 1) |> 
  mutate(Anteil = n / sum(n))

A == 0 & B == 1	n	Anteil
FALSE	3	0.75
TRUE	1	0.25

Oder so:

d |> 
  count(!(A == 1) & B == 1) |> 
  mutate(Anteil = n / sum(n))

!(A == 1) & B == 1	n	Anteil
FALSE	3	0.75
TRUE	1	0.25

Der Operator ! entspricht der logischen Negation.

$Pr(A\cup B)$

Kommen wir zu $Pr(A\cup B)$, der logischen Vereinigung, auch logisches “ODER” genannt.

d |> 
  count((A == 1) | (B == 1)) |> 
  mutate(Anteil = n / sum(n))

(A == 1) \| (B == 1)	n	Anteil
FALSE	1	0.25
TRUE	3	0.75

Der Operator | steht in R für das logische ODER.

Wie man sieht, kann man die Klammern um (A == 1) | (B == 1) verwenden für bessere Sichtbarkeit. Es ist aber nicht nötig.

$Pr(A|B)$

$Pr(A|B)$ entspricht einem Filtern, d.h. bedingen auf B entspricht einem Filtern, so dass nur noch $B$ und nicht $\neg B$ übrig bleibt.

d |> 
  filter(B == 1) |> 
  count(A)

A	n
0	1
1	1

1 Fall von 2 erfüllt die Bedingung A == 1, also 50%.

$Pr(B|A)$

Diese Aufgabe ist analog zu $Pr(A|B)$:

d |> 
  filter(A == 1) |> 
  count(B)

B	n
0	1
1	1

Bonus $Pr(B|\neg A)$

$Pr(B|\neg A)$ - Eigentlich nichts Neues:

d |> 
  filter(!(A == 1)) |> 
  count(B)

B	n
0	1
1	1

--- date: 2024-01-18 # HEUTIGES DATUM EINTRAGEN draft: false # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE! title: wskt-df-r # ACHTUNG: HIER NAMEN DER AUFGABE ANGEBEN execute: eval: true highlight-style: arrow cache: true format: html: df-print: kable extype: string exsolution: "" exshuffle: no categories: - probability # ENTER CATEGORIES HERE - R - computer --- Question ======== In dieser Aufgabe betrachten wir typische Relationen von Ereignissen, um typische Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu beantworten. Gegeben sei folgender Datensatz `d`: ```{r} #echo: true d <- data.frame( A = c(1, 1, 0, 0), B = c(1, 0, 1, 0) ) d ``` Der Datensatz `d` stellt alle vier Kombinationen der beiden Variablen `A` und `B` da (wir gehen davon aus, dass es sich um binäre Variablen, wie Ereignisse, handelt, der Einfachheit halber). Dabei steht `A == 1` für $A$ (Ereignis $A$ ist der Fall) und `A == 0` für $\neg A$, A tritt nicht ein, ist nicht der Fall. Generell wird in der Wissenschaft und Technik 0 für "nein, falsch" und 1 für "ja, wahr, richtig" verwendet. *Aufgabe*: **Berechnen Sie mit R $Pr(A\cap B), Pr(\neg A\cap B), Pr(A\cup B), Pr(A|B), Pr(B|A)$!** Solution ======== Gesucht sind mehrere Relationen: $Pr(A\cap B), Pr(\neg A\cap B), Pr(A\cup B), Pr(A|B), Pr(B|A)$ ## Setup ```{r} #| message: false library(tidyverse) ``` Hier ist unserer Datentabelle `d`, wie oben erstellt:: ```{r} #| echo: false gt::gt(d) ``` ## $Pr(A\cap B)$ ```{r} d |> filter(A == 1 & B == 1) ``` Also 1 von 4 Zeilen, das heißt 1/4 oder .25. Man kann das auch mit `count` ausrechnen: ```{r} d |> count(A == 1 & B == 1) ``` Der Operator `&` steht für das logische "UND" (Schnitt, intersect). Und so kann man sich noch die Anteile ausrechnen lassen: ```{r} d |> count(A == 1 & B == 1) |> mutate(Anteil = n / sum(n)) ``` ## $Pr(\neg A\cap B)$ $Pr(\neg A\cap B)$ ist im Prinzip identisch zum Schnitt ohne Negation: ```{r} d |> count(A == 0 & B == 1) |> mutate(Anteil = n / sum(n)) ``` Oder so: ```{r} d |> count(!(A == 1) & B == 1) |> mutate(Anteil = n / sum(n)) ``` Der Operator `!` entspricht der logischen Negation. ## $Pr(A\cup B)$ Kommen wir zu $Pr(A\cup B)$, der logischen Vereinigung, auch logisches "ODER" genannt. ```{r} d |> count((A == 1) | (B == 1)) |> mutate(Anteil = n / sum(n)) ``` Der Operator `|` steht in R für das logische ODER. Wie man sieht, kann man die Klammern um `(A == 1) | (B == 1)` verwenden für bessere Sichtbarkeit. Es ist aber nicht nötig. ## $Pr(A|B)$ $Pr(A|B)$ entspricht einem Filtern, d.h. bedingen auf B entspricht einem Filtern, so dass nur noch $B$ und nicht $\neg B$ übrig bleibt. ```{r} d |> filter(B == 1) |> count(A) ``` 1 Fall von 2 erfüllt die Bedingung `A == 1`, also 50%. ## $Pr(B|A)$ Diese Aufgabe ist analog zu $Pr(A|B)$: ```{r} d |> filter(A == 1) |> count(B) ``` ## Bonus $Pr(B|\neg A)$ $Pr(B|\neg A)$ - Eigentlich nichts Neues: ```{r} d |> filter(!(A == 1)) |> count(B) ```

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Question

Solution

Setup

\(Pr(A\cap B)\)

\(Pr(\neg A\cap B)\)

\(Pr(A\cup B)\)

\(Pr(A|B)\)

\(Pr(B|A)\)

Bonus \(Pr(B|\neg A)\)