totale-Wskt1

probability

bayes

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Krebstest ein positives Testergebnis (Ereignis $T$) zu bekommen?

Es gibt zwei Möglichkeiten für ein positives Testergebnis: Wenn man Krebs hat ($K$) und wenn man nicht Krebs hat ($\neg K$).

$Pr(T|K) = 9/10$, das ist die “Krebs-Erkenn-Sicherheit” des Tests.

$Pr(T|\neg K) = 99/891$, das ist die “Fehlalarm-Quote” des Tests.

Die Grundrate von Krebs sei $Pr(K) = .01$.

Aufgabe Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $Pr(T)$, dass ein positives Testergebnis vorliegt.

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Die Ereignisse $K$ und $\neg K$ bilden ein vollständiges Ereignissystem. Daher ist der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

$Pr(T) = Pr(T|K) \cdot Pr(K) + Pr(T| \neg K) \cdot Pr(\neg K)$.

Pr_T_geg_K <- 9/10
Pr_K <- .01
Pr_NK <- 1 - Pr_K  # Wskt für Nicht-Krebs
Pr_T_geg_NK <- 99/990  # 10% Fehlerrate (falsch positiv)
Pr_T <- Pr_T_geg_K * Pr_K + Pr_T_geg_NK * Pr_NK
Pr_T

[1] 0.108

T: Test (auf Krebs) ist positiv
K: Krebs liegt vor
NK: Krebs liegt nicht vor

Die Lösung lautet 0.108.

Einfacher vielleicht ist ein Baumdiagramm:

flowchart LR
  A[1000 Personen] -. K_Pos .-> B[10]
  A -. K_neg .-> C[990]
  B -. T_pos .-> D[9]
  B -. T_neg .-> E[1]
  C -. T_pos .-> F[99]
  C -. T_neg .-> G[891]
  D --- H[9/10 richtig positiv]
  E --- I[1/10 falsch negativ]
  F --- J[99/990 falsch positiv]
  G --- K[891/990 richtig negativ]

Figure 1: Günstige Pfade

Insgesamt bekommen also 9+99 = 108 Personen (von 1000), d.h. ca. 11%, ein positives Testergebnis, davon sind 9 tatsächlich krank und 99 sind gesund.

Categories:

R
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bayes
num

--- exname: totale-Wskt1 extype: num exsolution: r exams::fmt(sol) exshuffle: no extol: r sol_tol expoints: 1 categories: - R - probability - bayes - num date: '2023-11-08' slug: totale-Wskt1 title: totale-Wskt1 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Krebstest ein positives Testergebnis (Ereignis $T$) zu bekommen? Es gibt zwei Möglichkeiten für ein positives Testergebnis: Wenn man Krebs hat ($K$) und wenn man nicht Krebs hat ($\neg K$). $Pr(T|K) = 9/10$, das ist die "Krebs-Erkenn-Sicherheit" des Tests. $Pr(T|\neg K) = 99/891$, das ist die "Fehlalarm-Quote" des Tests. Die Grundrate von Krebs sei $Pr(K) = .01$. **Aufgabe** Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $Pr(T)$, dass ein positives Testergebnis vorliegt. Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung Die Ereignisse $K$ und $\neg K$ bilden ein *vollständiges Ereignissystem*. Daher ist der Satz von der *totalen Wahrscheinlichkeit* anzuwenden. $Pr(T) = Pr(T|K) \cdot Pr(K) + Pr(T| \neg K) \cdot Pr(\neg K)$. ```{r} Pr_T_geg_K <- 9/10 Pr_K <- .01 Pr_NK <- 1 - Pr_K # Wskt für Nicht-Krebs Pr_T_geg_NK <- 99/990 # 10% Fehlerrate (falsch positiv) Pr_T <- Pr_T_geg_K * Pr_K + Pr_T_geg_NK * Pr_NK Pr_T ``` - T: Test (auf Krebs) ist positiv - K: Krebs liegt vor - NK: Krebs liegt *nicht* vor ```{r} #| echo: false sol <- Pr_T ``` Die Lösung lautet ``r sol``. Einfacher vielleicht ist ein Baumdiagramm: ```{mermaid} %%| fig-cap: Günstige Pfade %%| label: fig-tot-wskt2 flowchart LR A[1000 Personen] -. K_Pos .-> B[10] A -. K_neg .-> C[990] B -. T_pos .-> D[9] B -. T_neg .-> E[1] C -. T_pos .-> F[99] C -. T_neg .-> G[891] D --- H[9/10 richtig positiv] E --- I[1/10 falsch negativ] F --- J[99/990 falsch positiv] G --- K[891/990 richtig negativ] ``` Insgesamt bekommen also 9+99 = 108 Personen (von 1000), d.h. ca. 11%, ein positives Testergebnis, davon sind 9 tatsächlich krank und 99 sind gesund. --- Categories: - R - probability - bayes - num