streuung-post2

bayes

Published

June 27, 2025

1 Aufgabe

Ein Fitnesstrainer behauptet, der Effekt einer Stunde Joggen läge bei “etwa 500 bis 600” kcal. Der Fitnesstrainer erklärt, dass er sich auf einen erwachsenen Mann mit ca. 80 kg Körpergewicht bezieht und eine mittleren Geschwindigkeit von ca. 8-9 km/h.

Unter der Annahme, dass der Effekt existiert, normalverteilt ist und dass der oben angeführte Wertebereich dem 95%-ETI einer Posterior-Verteilung entspricht:

Wie groß ist die Streuung der Posterior-Verteilung?

Hinweise:

Beachten Sie die üblichen Hinweise des Datenwerks.

2 Lösung

Für eine Normalverteilung N(μ, σ²) gilt:

Das 2,5%-Quantil liegt bei μ - 1,96σ Das 97,5%-Quantil liegt bei μ + 1,96σ

Daraus folgt:

500 = μ - 1,96σ 600 = μ + 1,96σ

Aus den beiden Gleichungen:

Differenz: 600 - 500 = 100 = 2 × 1,96σ Daher: σ = 100 / (2 × 1,96) = 100 / 3,92 ≈ 25,5 kcal

Mittelwert:

μ = (500 + 600) / 2 = 550 kcal

Antwort: Die Streuung (Standardabweichung) der Posterior-Verteilung beträgt etwa 25,5 kcal. Interpretation: Bei einer Normalverteilung mit μ = 550 kcal und σ = 25,5 kcal liegen 95% der Werte zwischen 500 und 600 kcal, was genau dem angegebenen 95%-ETI entspricht.

--- # gleich diese Datei in einem Ordner mit Namen der Aufgabe abspeichern! date: 2025-06-27 draft: FALSE # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE! title: streuung-post2 # HIER TITEL DES POSTS EINGEBEN. execute: eval: true highlight-style: arrow cache: true toc: true number-sections: true extype: string exsolution: "" exshuffle: no categories: - bayes # ENTER CATEGORIES HERE bibliography: "../../library-ses.bib" knitr: opts_chunk: out.width: "75%" --- # Aufgabe Ein Fitnesstrainer behauptet, der Effekt einer Stunde Joggen läge bei "etwa 500 bis 600" kcal. Der Fitnesstrainer erklärt, dass er sich auf einen erwachsenen Mann mit ca. 80 kg Körpergewicht bezieht und eine mittleren Geschwindigkeit von ca. 8-9 km/h. Unter der Annahme, dass der Effekt existiert, normalverteilt ist und dass der oben angeführte Wertebereich dem 95%-ETI einer Posterior-Verteilung entspricht: **Wie groß ist die Streuung der Posterior-Verteilung?** Hinweise: - Beachten Sie die üblichen [Hinweise](https://datenwerk.netlify.app/hinweise) des Datenwerks. # Lösung Für eine Normalverteilung N(μ, σ²) gilt: Das 2,5%-Quantil liegt bei μ - 1,96σ Das 97,5%-Quantil liegt bei μ + 1,96σ Daraus folgt: 500 = μ - 1,96σ 600 = μ + 1,96σ Aus den beiden Gleichungen: Differenz: 600 - 500 = 100 = 2 × 1,96σ Daher: σ = 100 / (2 × 1,96) = 100 / 3,92 ≈ 25,5 kcal Mittelwert: μ = (500 + 600) / 2 = 550 kcal Antwort: Die Streuung (Standardabweichung) der Posterior-Verteilung beträgt etwa 25,5 kcal. Interpretation: Bei einer Normalverteilung mit μ = 550 kcal und σ = 25,5 kcal liegen 95% der Werte zwischen 500 und 600 kcal, was genau dem angegebenen 95%-ETI entspricht. ```{r} #| echo: false #| message: false library(tidyverse) # Parameter der Normalverteilung mu <- 550 # Mittelwert sigma <- 25.5 # Standardabweichung # Daten für die Normalverteilung generieren x <- seq(450, 650, length.out = 1000) y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma) # DataFrame erstellen df <- data.frame(x = x, y = y) # 95%-ETI Grenzen lower_bound <- 500 upper_bound <- 600 # Daten für die Füllung des 95%-ETI df_fill <- df %>% filter(x >= lower_bound & x <= upper_bound) # Hauptplot erstellen p <- ggplot(df, aes(x = x, y = y)) + # Normalverteilungskurve geom_line(color = "blue", size = 1.2) + # 95%-ETI Bereich füllen geom_area(data = df_fill, aes(x = x, y = y), fill = "blue", alpha = 0.3) + # Vertikale Linien für ETI-Grenzen geom_vline(xintercept = lower_bound, color = "red", linetype = "dashed", size = 1) + geom_vline(xintercept = upper_bound, color = "red", linetype = "dashed", size = 1) + # Mittelwert-Linie geom_vline(xintercept = mu, color = "darkgreen", linetype = "dashed", size = 1) + # Beschriftungen labs( title = "Posterior-Verteilung: Kalorienverbrauch beim Joggen", subtitle = paste("N(", mu, ", ", sigma, "²) - 95%-ETI: [", lower_bound, ", ", upper_bound, "] kcal"), x = "Kalorienverbrauch [kcal]", y = "" ) + # Theme anpassen theme_minimal() + theme( plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"), plot.subtitle = element_text(size = 12), axis.title = element_text(size = 12), axis.text = element_text(size = 10), axis.text.y = element_blank() ) + # Achsenbegrenzungen xlim(450, 650) + ylim(0, max(y) * 1.1) # Annotationen hinzufügen p <- p + # Beschriftung der Grenzen annotate("text", x = lower_bound, y = max(y) * 0.7, label = paste(lower_bound, "kcal"), color = "red", hjust = -0.1, size = 3.5) + annotate("text", x = upper_bound, y = max(y) * 0.9, label = paste(upper_bound, "kcal"), color = "red", hjust = 1.1, size = 3.5) + annotate("text", x = mu, y = max(y) * 0.8, label = paste("μ =", mu, "kcal"), color = "darkgreen", hjust = -0.1, size = 3.5) + # 95%-ETI Beschriftung annotate("text", x = mu, y = max(y) * 0.5, label = "95%-ETI", color = "blue", size = 4, fontface = "bold") + # Seitliche Bereiche (je 2.5%) annotate("text", x = 470, y = max(y) * 0.1, label = "2.5%", color = "gray50", size = 3) + annotate("text", x = 630, y = max(y) * 0.1, label = "2.5%", color = "gray50", size = 3) p ```