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Published

November 5, 2022

Exercise

Nehmen wir an, wir haben 8 (Wasser-)“Treffer” ($W=8$) bei 15 Würfen ($N=15$) erhalten (wieder im Globusversuch).

Führen Sie einen Posteriori-Prädiktiv-Check durch: Erstellen Sie also eine Posteriori-Prädiktiv-Verteilung (PPV). Mit anderen Worten: Erstellen Sie die Stichprobenverteilung, gemittelt über die Posteriori-Wahrscheinlichkeiten des Wasseranteils $p$!
Visualisieren Sie die PPV!
Was ist die Wahrscheinlichkeit laut PPV 8 von 15 Treffer zu erzielen (also 8 Wasser in 15 Würfen)?

Hinweise:

Berechnen Sie eine Bayes-Box (Gittermethode).
Verwenden Sie 1000 Gitterwerte.
Gehen Sie von einem gleichverteilten Prior aus.
Fixieren Sie die Zufallszahlen mit dem Startwert 42, d.h. set.seed(42).

Quelle: McElreath, R. (2020). Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

Solution

library(tidyverse)

Erstellen wir zuerst wieder die Posteriori-Verteilung für den Globusversuch.

p_grid <- seq( from=0 , to=1 , length.out = 1000)  # 1000 Gitterwerte

prior <- rep(1, 1000 )  # Priori-Gewichte

likelihood <- dbinom(8 , size= 15, prob=p_grid ) 

unstandardisierte_posterior <- likelihood * prior 

posterior <- unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior)

Dann ziehen wir unsere Stichproben daraus:

# um die Zufallszahlen festzulegen, damit alle die gleichen Zufallswerte bekommen: 
set.seed(42) 

# Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung
samples <- 
  tibble(
    p = sample(p_grid , prob=posterior, size=1e4, replace=TRUE))

PPV <- 
  samples %>% 
  mutate( anzahl_wasser = rbinom(1e4, size = 15, prob = p))

Durch prob = p gewichten wir die Wahrscheinlichkeit an den Werten der Posteriori-Verteilung.

So sehen die ersten paar Zeilen von PPV aus:

p	anzahl_wasser
0.4304304	4
0.5575576	11
0.6516517	4
0.6156156	9
0.6716717	6

PPV %>% 
  ggplot() +
  aes(x = anzahl_wasser) +
  geom_bar()

PPV %>% 
  count(anzahl_wasser == 8)

anzahl_wasser == 8	n
FALSE	8536
TRUE	1464

Alternativer R-Code aus dieser Quelle:

w <- rbinom(1e4, size = 15, prob = samples$p)
mean(w == 8)

[1] 0.1504

Categories:

bayes
ppv
probability

--- extype: string exsolution: NA exname: rethink-3m3 expoints: 1 categories: - bayes - ppv - probability - computer date: '2022-11-05' title: rethink3m3 --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) library(gt) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, echo = TRUE, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", message = FALSE, warning = FALSE, out.width = "50%", cache = TRUE) ``` # Exercise Nehmen wir an, wir haben 8 (Wasser-)"Treffer" ($W=8$) bei 15 Würfen ($N=15$) erhalten (wieder im Globusversuch). a) Führen Sie einen Posteriori-Prädiktiv-Check durch: Erstellen Sie also eine Posteriori-Prädiktiv-Verteilung (PPV). Mit anderen Worten: Erstellen Sie die Stichprobenverteilung, gemittelt über die Posteriori-Wahrscheinlichkeiten des Wasseranteils $p$! b) Visualisieren Sie die PPV! c) Was ist die Wahrscheinlichkeit laut PPV 8 von 15 Treffer zu erzielen (also 8 Wasser in 15 Würfen)? Hinweise: - Berechnen Sie eine Bayes-Box (Gittermethode). - Verwenden Sie 1000 Gitterwerte. - Gehen Sie von einem gleichverteilten Prior aus. - Fixieren Sie die Zufallszahlen mit dem Startwert 42, d.h. `set.seed(42)`. *Quelle*: McElreath, R. (2020). *Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan* (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press. # Solution ```{r} library(tidyverse) ``` a) Erstellen wir zuerst wieder die Posteriori-Verteilung für den Globusversuch. ```{r} p_grid <- seq( from=0 , to=1 , length.out = 1000) # 1000 Gitterwerte prior <- rep(1, 1000 ) # Priori-Gewichte likelihood <- dbinom(8 , size= 15, prob=p_grid ) unstandardisierte_posterior <- likelihood * prior posterior <- unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior) ``` Dann ziehen wir unsere Stichproben daraus: ```{r} # um die Zufallszahlen festzulegen, damit alle die gleichen Zufallswerte bekommen: set.seed(42) # Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung samples <- tibble( p = sample(p_grid , prob=posterior, size=1e4, replace=TRUE)) ``` ```{r} PPV <- samples %>% mutate( anzahl_wasser = rbinom(1e4, size = 15, prob = p)) ``` Durch `prob = p` gewichten wir die Wahrscheinlichkeit an den Werten der Posteriori-Verteilung. So sehen die ersten paar Zeilen von `PPV` aus: ```{r echo = FALSE} PPV %>% slice_head(n=5) %>% gt() ``` b) ```{r} PPV %>% ggplot() + aes(x = anzahl_wasser) + geom_bar() ``` c) ```{r} PPV %>% count(anzahl_wasser == 8) ``` Alternativer R-Code aus dieser [Quelle](https://sr2-solutions.wjakethompson.com/bayesian-inference.html#chapter-3): ```{r} w <- rbinom(1e4, size = 15, prob = samples$p) mean(w == 8) ``` --- Categories: - bayes - ppv - probability