regression1a

regression

2023

schoice

Published

May 8, 2023

Aufgabe

Die folgende Frage bezieht sich auf dieses Ergebnis einer Regressionsanalyse:


Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.1733 -0.2517  0.0044  0.2883  1.3365 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.0282     0.0545   -0.52     0.61    
x            -1.3887     0.0531  -26.17   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.45 on 70 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.907, Adjusted R-squared:  0.906 
F-statistic:  685 on 1 and 70 DF,  p-value: <2e-16

Zusammengefasst sind die Koeffizienten (beta0 und beta1) also:

coef(m)

(Intercept)           x 
     -0.028      -1.389

Welche der folgenden Aussagen passt am besten?

Answerlist

Das (nicht-adjustierte) $R^2$ liegt im Modell bei 0.91.
Der Mittelwert der abhängigen Variaben y steigt mit zunehmenden x.
Wenn x um 1 Einheit steigt, dann kann eine Veränderung um etwa -0.03 Einheiten in y erwartet werden (nicht kausal zu verstehen).
Wenn x=1, dann ist ein Mittelwert von y in Höhe von ca. -0.03 zu erwarten.
Wenn x=2, dann ist ein Mittelwert von y in Höhe von ca. -1.42 zu erwarten.

Lösung

Für diese Aufgabe ist es hilfreich, wenn Sie wissen, wie man $\hat{y}$ berechnet: $\hat{y}=\alpha + \beta x$. In Worten: “Das vorhergesagte Y ist die Summe von Achsenabschnitt (alpha) und Steigung (beta) mal x”.

Ein einfaches Rechenbeispiel:

Wenn man nichts für die Klausur lernt, also $x=0$ hat man 7 Punkte (Achsenabschnitt), $\hat{y}=\beta_0 + \beta_1 \cdot 0$. Pro Stunde lernen kommt ein halber Klausurpunkte dazu. Wie viele Punkte hat man nach diesem Modell, wenn man 20 Stunden lernt? Antwort: $\hat{y}=7 + 0.5*20 = 7 + 10 = 17$.

Answerlist

Wahr
Falsch
Falsch
Falsch
Falsch

Categories:

regression
‘2023’
schoice

--- extype: schoice exname: regression1a exsolution: r mchoice2string(questions_sample$is_correct, single = TRUE) exshuffle: no expoints: 1 categories: - regression - '2023' - schoice date: '2023-05-08' slug: regression1a title: regression1a ---  ```{r include = FALSE, message=FALSE} library(glue) library(tidyverse) library(testthat) library(mosaic) library(exams) options(digits=2) options(width = 80) ``` ```{r data generation, echo = FALSE, results = "hide"} ## regression parameters n <- sample(40:90, 1) b <- sample(c(-1, 1), 1) * runif(1, 1, 2) * sample(c(0.1, 0.5, 1), 1) s <- sample(c(0.5, 1, 2), 1) ## data and regression d <- data.frame( x = rnorm(n), err = rnorm(n, sd = s) ) d$y <- 0 + b * d$x + d$err ## different types type_set <- c("lineare", "y-logarithmisierte", "y-logarithmisierte") # type <- sample(type_set, 1) type <- "lineare" type_wrong <- sample(setdiff(type_set, type), 1) expect(type != type_wrong, failure_message = "Correct and incorrect answer to type of regression must differ!") if(type == "lineare") { m <- lm(y ~ x, data = d) # regression model xunit <- "Einheit" yunit <- "Einheiten" eff <- round(coef(m)[2], digits = 2) eff_wrong <- round(coef(m)[1], digits = 2) # wrong! } else if(type == "y-logarithmisierte") { d$y <- exp(d$y) m <- lm(log(y) ~ x, data = d) # regression model xunit <- "Einheit" yunit <- "Prozent" eff <- round(100 * exp(coef(m)[2]) - 100, digits = 2) eff_wrong <- round(100 * exp(coef(m)[1]) - 100, digits = 2) # wrong! } else if(type == "y-x-logarithmisierte") { d$y <- exp(d$y) d$x <- exp(d$x) m <- lm(log(y) ~ log(x), data = d) # regression model xunit <- "Prozent" yunit <- "Prozent" eff <- round(100 * exp(0.01 * coef(m)[2]) - 100, digits = 2) eff_wrong <- round(100 * exp(0.01 * coef(m)[1]) - 100, digits = 2) # wrong! } ## summaries direct <- if(coef(m)[2] > 0) "steigt" else "sinkt" direct_wrong <- if(coef(m)[2] < 0) "steigt" else "sinkt" # wrong! if(summary(m)$coefficients[2, 4] < 0.05) { sign1 <- "Auch" sign2 <- "" } else { sign1 <- "Aber" sign2 <- "_nicht_" } y_at_x1 <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 1)), 2) y_at_x1_wrong <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 0)), 2) y_at_x2 <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 2)), 2) y_at_x2_wrong <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 1)), 2) y_at_x0 <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 0)), 2) # intercept y_at_x0_wrong <- round(predict(m, newdata = data.frame(x = 1)) , 2) # intercept r2 <- round(rsquared(m), 2) ``` ```{r item-generation, echo = FALSE, results = "hide"} # first one is CORRECT, second is FALSE type_regression_items <- c(glue("Es handelt sich um eine {type} Regression."), glue("Es handelt sich um eine {type_wrong} Regression.")) effect_direction_items <- c(glue("Der Mittelwert der abhängigen Variaben `y` {direct} mit zunehmenden `x`."), glue("Der Mittelwert der abhängigen Variaben `y` {direct_wrong} mit zunehmenden `x`.")) effect_items <- c(glue("Wenn `x` um 1 {xunit} steigt, dann kann eine Veränderung um etwa {eff} {yunit} in `y` erwartet werden (nicht kausal zu verstehen)."), glue("Wenn `x` um 1 {xunit} steigt, dann kann eine Veränderung um etwa {eff_wrong} {yunit} in `y` erwartet werden (nicht kausal zu verstehen).")) y_at_x0_items <- c(glue("Wenn `x=0`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von etwa {y_at_x0} zu erwarten."), glue("Wenn `x=0`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von etwa {y_at_x0_wrong} zu erwarten.")) y_at_x1_items <- c(glue("Wenn `x=1`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von ca. {y_at_x1} zu erwarten."), glue("Wenn `x=1`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von ca. {y_at_x1_wrong} zu erwarten.")) y_at_x2_items <- c(glue("Wenn `x=2`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von ca. {y_at_x2} zu erwarten."), glue("Wenn `x=2`, dann ist ein Mittelwert von `y` in Höhe von ca. {y_at_x2_wrong} zu erwarten.")) r2_items <- c(glue("Das (nicht-adjustierte) $R^2$ liegt im Modell bei {r2}."), glue("Das (nicht-adjustierte) $R^2$ liegt im Modell bei {eff}.")) questions <- bind_cols(#data.frame(type_regression_items), data.frame(effect_direction_items), data.frame(effect_items), data.frame(y_at_x0_items), data.frame(y_at_x1_items), data.frame(y_at_x2_items), data.frame(r2_items) ) %>% mutate(is_correct = c(TRUE, FALSE)) questions_long <- questions %>% pivot_longer(-c(is_correct), names_to = "question_content", values_to = "item") # Draw 1 correct and 4 incorrect questions (items): to_be_presented_as_correct <- sample(questions_long$question_content, 1) to_be_presented_as_INcorrect <- setdiff(questions_long$question_content, to_be_presented_as_correct) %>% sample(size = 4) questions_sample <- questions_long %>% filter((is_correct == TRUE & question_content == to_be_presented_as_correct) | (is_correct == FALSE & question_content %in% to_be_presented_as_INcorrect)) ``` # Aufgabe Die folgende Frage bezieht sich auf dieses Ergebnis einer Regressionsanalyse: ```{r lm output, echo = FALSE, comment = NA} summary(m) ``` Zusammengefasst sind die Koeffizienten (beta0 und beta1) also: ```{r ech0=FALSE} coef(m) ``` Welche der folgenden Aussagen passt am besten? ```{r questionlist, echo = FALSE, results = "asis"} answerlist(questions_sample$item, markup = "markdown") ``` # Lösung Für diese Aufgabe ist es hilfreich, wenn Sie wissen, wie man $\hat{y}$ berechnet: $\hat{y}=\alpha + \beta x$. In Worten: "Das vorhergesagte Y ist die Summe von Achsenabschnitt (alpha) und Steigung (beta) mal x". Ein einfaches Rechenbeispiel: Wenn man nichts für die Klausur lernt, also $x=0$ hat man 7 Punkte (Achsenabschnitt), $\hat{y}=\beta_0 + \beta_1 \cdot 0$. Pro Stunde lernen kommt ein halber Klausurpunkte dazu. Wie viele Punkte hat man nach diesem Modell, wenn man 20 Stunden lernt? Antwort: $\hat{y}=7 + 0.5*20 = 7 + 10 = 17$. ```{r solutionlist, echo = FALSE, results = "asis"} answerlist(ifelse(questions_sample$is_correct, "Wahr", "Falsch"), markup = "markdown") ``` --- Categories: - regression - '2023' - schoice