randomdag1

causal

dag

Published

December 19, 2022

Exercise

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über $n = 7$ Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind und mit $x_1, x_2, \ldots x_n$ bezeichnet sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: x6.

AV: x7.

Hinweise:

Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x1, x2} meint die Menge mit den zwei Elementen x1 und x2.
Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “/”.
Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben. Diese Variablen sind dann kausal unabhängig von den übrigen Variablen.

Answerlist

{ x6 }
{ x2 , x5 }
{ x2, x4 }
{ x4, x5 }
{ x1, x6 }

Solution

Folgende minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt der UV auf die AV zu identifizieren: { x2 , x5 }.

Es wird also nach dem minimal adjustment set gefragt. Zu beachten ist, dass es weitere, aber größere Mengen geben kann, die den kausalen Effekt identifizieren, aber gefragt ist nach der minimalen Menge. Außerdem ist es möglich, dass es weitere minimale Adjustierungsmengen gibt, die aber nicht in der Auswahlliste vorkommen.

Erläuterung:

UV und AV sind (durch mindestens einen offenen Pfad) verbunden (“d-connected”).

Folgende Unabhängigkeitsbeziehungen (_||_) werden durch den DAG definiert:

x1 _||_ x2
x1 _||_ x4 | x2, x3
x1 _||_ x5 | x3, x4
x1 _||_ x5 | x2, x3
x1 _||_ x6 | x2, x5
x1 _||_ x6 | x2, x3
x2 _||_ x5 | x3, x4
x2 _||_ x7 | x1, x3, x4
x3 _||_ x6 | x2, x5
x4 _||_ x6 | x2, x5
x5 _||_ x7 | x3, x4
x6 _||_ x7 | x1, x3, x4
x6 _||_ x7 | x2, x3, x4
x6 _||_ x7 | x2, x5

UV und AV werden durch folgende Pfade verbunden:

$paths
 [1] "x6 <- x2 -> x3 -> x4 -> x7"            
 [2] "x6 <- x2 -> x3 -> x5 <- x4 -> x7"      
 [3] "x6 <- x2 -> x3 -> x7"                  
 [4] "x6 <- x2 -> x3 <- x1 -> x7"            
 [5] "x6 <- x2 -> x4 -> x5 <- x3 -> x7"      
 [6] "x6 <- x2 -> x4 -> x5 <- x3 <- x1 -> x7"
 [7] "x6 <- x2 -> x4 -> x7"                  
 [8] "x6 <- x2 -> x4 <- x3 -> x7"            
 [9] "x6 <- x2 -> x4 <- x3 <- x1 -> x7"      
[10] "x6 <- x5 <- x3 -> x4 -> x7"            
[11] "x6 <- x5 <- x3 -> x7"                  
[12] "x6 <- x5 <- x3 <- x1 -> x7"            
[13] "x6 <- x5 <- x3 <- x2 -> x4 -> x7"      
[14] "x6 <- x5 <- x4 -> x7"                  
[15] "x6 <- x5 <- x4 <- x2 -> x3 -> x7"      
[16] "x6 <- x5 <- x4 <- x2 -> x3 <- x1 -> x7"
[17] "x6 <- x5 <- x4 <- x3 -> x7"            
[18] "x6 <- x5 <- x4 <- x3 <- x1 -> x7"      

$open
 [1]  TRUE FALSE  TRUE FALSE FALSE FALSE  TRUE FALSE FALSE  TRUE  TRUE  TRUE
[13]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE  TRUE  TRUE

Offenen Pfade sind der/die Pfad/e, die in der obigen Ausgabe unter $open mit TRUE gekennzeichnet sind.

Der DAG ist wie folgt definiert:

dag {
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1 -> x3
x1 -> x7
x2 -> x3
x2 -> x4
x2 -> x6
x3 -> x4
x3 -> x5
x3 -> x7
x4 -> x5
x4 -> x7
x5 -> x6
}

Answerlist

Falsch
Richtig
Falsch
Falsch
Falsch

Categories:

causal
dag

--- exname: randomdag1 expoints: 1 extype: schoice exsolution: r exams::mchoice2string(sol_df$is_correct, single = TRUE) exshuffle: no categories: - causal - dag date: '2022-12-19' slug: randomdag1 title: randomdag1 --- ```{r libs, include = FALSE} #library(tidyverse) # library(testthat) # library(glue) library(tidyverse) library(dagitty) #library(ggdag) #library(exams) #library(stringr) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 7, fig.cap = "", fig.path = "", echo = FALSE, message = FALSE, warning = FALSE, cache = FALSE, #dpi = 72, fig.show = "hold") ``` # Exercise ```{r setup-dag} dag_size <- sample(c(6, 7), 1) p <- sample(seq(from = 0.6, to = 0.7, by = .1), 1) dag_vars_nr <- 1:dag_size exposure_var_nr <- sample(1:(dag_size-1), 1) outcome_var_set_nr1 <- setdiff(1:dag_size, exposure_var_nr) # exposure var nr should be smaller than the outcome var nr: outcome_var_set_nr2 <- outcome_var_set_nr1[which(outcome_var_set_nr1 > exposure_var_nr)] # the function "sample" only works as expected if a vector (length > 1) is given as input: if (length(outcome_var_set_nr2) > 1) outcome_var_nr <- sample(x = outcome_var_set_nr2, size = 1) if (length(outcome_var_set_nr2) == 1) outcome_var_nr <- outcome_var_set_nr2 exposure_var <- paste0("x", exposure_var_nr) outcome_var <- paste0("x", outcome_var_nr) # Devise random dag: g <- dagitty::randomDAG(N = dag_size, p) # In some cases, an error occurs ("closure not sutsettable") # it seems that some package must not be loaded to prevent this error. # Try restarting R to get a clean session stopifnot(exists("g")) ``` ```{r build-solution, include=FALSE} sol_df <- teachertools::build_adj_set_answers( dag_def = g, #dag_size = dag_size, exposure_var = exposure_var, outcome_var = outcome_var) ``` Gegeben sei der DAG `g` (s. u.). Der DAG verfügt über $n = `r dag_size`$ Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind und mit $x_1, x_2, \ldots x_n$ bezeichnet sind. *Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?* UV: `r exposure_var`. AV: `r outcome_var`. *Hinweise*: - Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. `{x1, x2}` meint die Menge mit den zwei Elementen `x1` und `x2`. - Die leere Menge `{ }` bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren. - Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt. - Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie "/". - Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben. Diese Variablen sind dann kausal unabhängig von den übrigen Variablen. ```{r plot-dag} #ggdag(g, stylized = TRUE) + theme_dag() plot(graphLayout(g)) ``` ```{r questionlist, results="asis"} exams::answerlist(sol_df$sol, markup = "markdown") ``` # Solution Folgende minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt der UV auf die AV zu identifizieren: ``r sol_df$sol[sol_df$is_correct == TRUE]``. Es wird also nach dem *minimal adjustment set* gefragt. Zu beachten ist, dass es weitere, aber größere Mengen geben kann, die den kausalen Effekt identifizieren, aber gefragt ist nach der minimalen Menge. Außerdem ist es möglich, dass es weitere minimale Adjustierungsmengen gibt, die aber nicht in der Auswahlliste vorkommen. *Erläuterung*: ```{r} is_dseparated <- dseparated(g, X = exposure_var, Y = outcome_var) is_dconnected <- dconnected(g, X = exposure_var, Y = outcome_var) ``` UV und AV sind `r ifelse(is_dconnected==FALSE, "nicht", "")` (durch mindestens einen offenen Pfad) verbunden ("d-connected"). Folgende Unabhängigkeitsbeziehungen (`_||_`) werden durch den DAG definiert: ```{r} impliedConditionalIndependencies(g) ``` UV und AV werden durch folgende Pfade verbunden: ```{r} g_paths <- paths( g, from = exposure_var, to = outcome_var) g_paths ``` Offenen Pfade sind der/die Pfad/e, die in der obigen Ausgabe unter `$open` mit `TRUE` gekennzeichnet sind. Der DAG ist wie folgt definiert: ```{r, comment = ""} g ``` ```{r, echo = FALSE, results = "asis"} exams::answerlist(ifelse(sol_df$is_correct, "Richtig", "Falsch"), markup = "markdown") ``` --- Categories: - causal - dag