postvert-vis-zwielicht

2023

vis

bayes

post

string

Published

November 8, 2023

Setup

library(tidyverse)

Aufgabe

Der zwielichte Dozent: Stichproben-Vert. vs. Post-Vert.

In einer dunklen Gasse fordert Sie ein Statistik-Dozent zu einem Glücksspiel heraus¹. Münzwurf; wenn er gewinnt, müssen Sie 10 Euro zahlen. Gewinnen Sie, bekommen Sie 11 Euro. Klingt nach einer guten Partie, nicht war? Natürlich nehmen Sie sofort an.

Sie spielen also Münzwurf; der Dozent setzt auf Zahl. Sie spielen 10 Runden. Leider gewinnt der Dozent 9 von 10 Mal².

Ist die Münze fair oder zieht der mich über den Tisch?, das ist die Frage, die Ihnen brennend durch den Kopf zieht.

“Sind 9 von 10 Treffern noch realistisch erwartbar, wenn es mit rechten Dingen zugeht, oder beweist das Ergebnis, dass die Münze gezinkt ist?”

Wütend (und mit leeren Taschen) ziehen Sie von dannen.

Zusammengefasst: Daten: 9 von 10 Treffern beim Münzwurf. Forschungsfrage: Ist die Münze fair?

Schauen wir uns zunächst einmal an, wie wahrscheinlich 9 von 10 Treffern sind, wenn die Münze fair ist, s. Figure 1, links.

Die Stichprobenverteilung zeigt, wie wahrscheinlich die empirischen Daten $D$ (z.B. 9 von 10 Treffer) sind, gegeben eines Parameterwerts $\pi$ (z.B. $p=0.5$): $Pr(D|\pi)$³.

Anders gesagt, die Stichprobenverteilung zeigt die Verteilung der Likelihoods eines bestimmten Parameterwerts.

In der Bayes-Statistik ist die Post-Verteilung Dreh- und Angelpunkt der Entscheidung über eine Hypothese. In Figure 1 ist die Posteriori-Verteilung für die Daten zum zwielichten Dozent dargestellt.

# Post-Verteilung:
d_zwielicht <-
  tibble(
    p_grid = seq( from=0 , to=1 , length.out=100),
    prior = 1,  # Priori-Gewichte
    likelihood = dbinom(8, size = 10, prob=p_grid) ,
    unstandardisierte_posterior = likelihood * prior ,
    posterior = unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior))


# Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung:
samples_zwielicht <- 
  tibble(
    gewinnchance_muenze = sample(
      d_zwielicht$p_grid , 
      prob=d_zwielicht$posterior, 
      size=1e4, 
      replace=TRUE)) %>% 
  mutate(
    id = row_number())

Figure 1: Post-Verteilung für den Parameter p zu den Daten des zwielichten Dozenten (9 von 10 Treffern im wiederholten Münzwurf)

gghistogram(samples_zwielicht,
            x = "gewinnchance_muenze",
            title = "Posteriori-Verteilung für p",
            subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt",
            xlab = "p (Gewinchance der Münze)",
            fill = "grey60") +
  geom_vline(xintercept = 0.5)

Aufgab:e Bauen Sie daraufhin die oben gezeigte Abbildung nach.

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Pakete starten:

library(tidyverse)
library(ggpubr)

Post-Verteilung erstellen:

d_zwielicht <-
  tibble(
    p_grid = seq( from=0 , to=1 , length.out=100),
    prior = 1,  # Priori-Gewichte
    likelihood = dbinom(8, size = 10, prob=p_grid) ,
    unstandardisierte_posterior = likelihood * prior ,
    posterior = unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior))

Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung:

samples_zwielicht <- 
  tibble(
    gewinnchance_muenze = sample(
      d_zwielicht$p_grid , 
      prob=d_zwielicht$posterior, 
      size=1e4, 
      replace=TRUE)) %>% 
  mutate(
    id = row_number())

Verteilung visualisieren, z.B. mit ggpubr:

gghistogram(samples_zwielicht,
            x = "gewinnchance_muenze",
            title = "Posteriori-Verteilung für p",
            subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt",
            xlab = "p (Gewinchance der Münze)",
            fill = "grey60") +
  geom_vline(xintercept = 0.5)

Oder mit purem ggplot:

p_samples_zwielicht <- 
samples_zwielicht %>% 
  ggplot() +
  aes(x = gewinnchance_muenze) +
  geom_histogram(fill = "grey60", bins = 20) +
  #geom_vline(xintercept = 0.9) +
  #geom_label(x = 0.8, y= 0, label = "Emp. Ergebnis") +
  labs(title = "Posteriori-Verteilung für p",
       subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt",
       caption = "Das Dreieck zeigt die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei einer fairen Münze",
       x = "Gewinnchance der Münze") +
  annotate("point", x = .5, y = 0, size = 5, color = "grey40", shape = 17)

p_samples_zwielicht

Es reicht i.d.R. vollkommen, wenn Sie eine der beiden Möglichkeiten beherrschen.

Tipp: Fragen Sie ChatGPT and Friends nach dem R-Code.

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Footnotes

Hier bräuchte es ein passendes Meme; Vorschläge bitte an mich.↩︎
was er mit lautem Gelächter quittiert↩︎
Das griechische kleine $p$ wird “pi” genannt und $\pi$ geschrieben. Zur Erinnerung: Parameter- oder Populationskennwerte werden in der Statistik häufig mit griechischen Buchstaben benannt, um sie von Stichprobenkennwerten abzugrenzen.↩︎

--- exname: postvert-vis-zwielicht expoints: 1 extype: string exsolution: NA categories: - 2023 - vis - bayes - post - string date: '2023-11-08' slug: postvert-vis-zwielicht title: postvert-vis-zwielicht --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Setup ```{r} library(tidyverse) ``` # Aufgabe ## Der zwielichte Dozent: Stichproben-Vert. vs. Post-Vert. In einer dunklen Gasse fordert Sie ein Statistik-Dozent zu einem Glücksspiel heraus^[Hier bräuchte es ein passendes Meme; Vorschläge bitte an mich.]. Münzwurf; wenn er gewinnt, müssen Sie 10 Euro zahlen. Gewinnen Sie, bekommen Sie 11 Euro. Klingt nach einer guten Partie, nicht war? Natürlich nehmen Sie sofort an. Sie spielen also Münzwurf; der Dozent setzt auf Zahl. Sie spielen 10 Runden. Leider gewinnt der Dozent 9 von 10 Mal^[was er mit lautem Gelächter quittiert]. *Ist die Münze fair oder zieht der mich über den Tisch?*, das ist die Frage, die Ihnen brennend durch den Kopf zieht. "Sind 9 von 10 Treffern noch realistisch erwartbar, wenn es mit rechten Dingen zugeht, oder beweist das Ergebnis, dass die Münze gezinkt ist?" Wütend (und mit leeren Taschen) ziehen Sie von dannen. Zusammengefasst: Daten: 9 von 10 Treffern beim Münzwurf. Forschungsfrage: Ist die Münze fair? Schauen wir uns zunächst einmal an, wie wahrscheinlich 9 von 10 Treffern sind, *wenn* die Münze fair ist, s. @fig-stiprovert-post-zwielicht, links. ```{r QM2-Thema3-Post-befragen-21} #| echo: false p_stripro_vert <- tibble( Trefferzahl = rbinom(n = 1e4, size = 10, prob = 1/2) ) %>% mutate(signifikant = ifelse(Trefferzahl %in% c(9,10), TRUE, FALSE)) %>% ggplot() + aes(x = Trefferzahl, fill = signifikant) + geom_bar() + scale_x_continuous(breaks = 0:10) + theme(legend.position = c(0.1, 0.8)) + geom_vline(xintercept = 9) + labs(title = "Stichprobenverteilung für p=0.5") + theme_minimal() ``` Die *Stichprobenverteilung* zeigt, wie wahrscheinlich die empirischen Daten $D$ (z.B. 9 von 10 Treffer) sind, *gegeben* eines Parameterwerts $\pi$ (z.B. $p=0.5$): $Pr(D|\pi)$^[Das griechische kleine $p$ wird "pi" genannt und $\pi$ geschrieben. Zur Erinnerung: Parameter- oder Populationskennwerte werden in der Statistik häufig mit griechischen Buchstaben benannt, um sie von Stichprobenkennwerten abzugrenzen.]. Anders gesagt, die Stichprobenverteilung zeigt die Verteilung der Likelihoods eines bestimmten Parameterwerts. In der Bayes-Statistik ist die Post-Verteilung Dreh- und Angelpunkt der Entscheidung über eine Hypothese. In @fig-stiprovert-post-zwielicht ist die Posteriori-Verteilung für die Daten zum zwielichten Dozent dargestellt. ```{r zwielicht-daten} #| echo: true # Post-Verteilung: d_zwielicht <- tibble( p_grid = seq( from=0 , to=1 , length.out=100), prior = 1, # Priori-Gewichte likelihood = dbinom(8, size = 10, prob=p_grid) , unstandardisierte_posterior = likelihood * prior , posterior = unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior)) # Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung: samples_zwielicht <- tibble( gewinnchance_muenze = sample( d_zwielicht$p_grid , prob=d_zwielicht$posterior, size=1e4, replace=TRUE)) %>% mutate( id = row_number()) ``` ```{r QM2-Thema3-Post-befragen-22} #| echo: false #| fig-cap: "Post-Verteilung für den Parameter p zu den Daten des zwielichten Dozenten (9 von 10 Treffern im wiederholten Münzwurf)" #| label: fig-stiprovert-post-zwielicht p_samples_zwielicht <- samples_zwielicht %>% ggplot() + aes(x = gewinnchance_muenze) + geom_histogram(fill = "grey60", bins = 20) + #geom_vline(xintercept = 0.9) + #geom_label(x = 0.8, y= 0, label = "Emp. Ergebnis") + labs(title = "Posteriori-Verteilung für p", subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt", caption = "Das Dreieck zeigt die Wskt. eines Treffers bei einer fairen Münze", x = "Gewinnchance der Münze") + annotate("point", x = .5, y = 0, size = 5, color = "black", shape = 17) p_samples_zwielicht ``` ```{r} #| eval: false gghistogram(samples_zwielicht, x = "gewinnchance_muenze", title = "Posteriori-Verteilung für p", subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt", xlab = "p (Gewinchance der Münze)", fill = "grey60") + geom_vline(xintercept = 0.5) ``` **Aufgab:e** Bauen Sie daraufhin die oben gezeigte Abbildung nach. Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung Pakete starten: ```{r} library(tidyverse) library(ggpubr) ``` Post-Verteilung erstellen: ```{r echo = TRUE} d_zwielicht <- tibble( p_grid = seq( from=0 , to=1 , length.out=100), prior = 1, # Priori-Gewichte likelihood = dbinom(8, size = 10, prob=p_grid) , unstandardisierte_posterior = likelihood * prior , posterior = unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior)) ``` Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung: ```{r} samples_zwielicht <- tibble( gewinnchance_muenze = sample( d_zwielicht$p_grid , prob=d_zwielicht$posterior, size=1e4, replace=TRUE)) %>% mutate( id = row_number()) ``` Verteilung visualisieren, z.B. mit `ggpubr`: ```{r} gghistogram(samples_zwielicht, x = "gewinnchance_muenze", title = "Posteriori-Verteilung für p", subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt", xlab = "p (Gewinchance der Münze)", fill = "grey60") + geom_vline(xintercept = 0.5) ``` Oder mit purem `ggplot`: ```{r} p_samples_zwielicht <- samples_zwielicht %>% ggplot() + aes(x = gewinnchance_muenze) + geom_histogram(fill = "grey60", bins = 20) + #geom_vline(xintercept = 0.9) + #geom_label(x = 0.8, y= 0, label = "Emp. Ergebnis") + labs(title = "Posteriori-Verteilung für p", subtitle = "Priori: Gleichverteilung; Daten: 9 von 10 Treffern, binomialverteilt", caption = "Das Dreieck zeigt die Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei einer fairen Münze", x = "Gewinnchance der Münze") + annotate("point", x = .5, y = 0, size = 5, color = "grey40", shape = 17) p_samples_zwielicht ``` Es reicht i.d.R. vollkommen, wenn Sie eine der beiden Möglichkeiten beherrschen. Tipp: Fragen Sie ChatGPT and Friends nach dem R-Code. --- Categories: - 2023 - vis - bayes - post - string