penguins-relationen2

probability

Published

September 26, 2025

1 Aufgabe

1.1 Hintergrund

In dieser Aufgabe betrachten wir die Relationen einiger Ereignisse im Zusammenhang mit dem Datensatz penguins.

Sie können den Datensatz z.B. so importieren:

library(palmerpenguins) # Lade das Paket zuerst
data(penguins) # Jetzt wird der Datensatz geladen

Sei das Ereignis A das Tier ist von der Spezies “Adelie”. Sei das Ereignis B das Tier hat eine Schnabellänge (bill_length_mm) größer als der Median aller Pinguine (des Datensatzes, nur gültige Messungen). Sei AB ein Pinguin, der sowohl A als auch B erfüllt.

Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten, wobei wir den jeweiligen Anteil der Tiere als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

1.2 Teilaufgaben

$Pr(A \cup B)$
$Pr(A \cap B)$
$Pr(\neg B)$
$Pr(\neg A)$
$Pr(A \setminus AB)$
$Pr(B \setminus AB)$

Hinweis: Die Berechnungen sollen nur Pinguine berücksichtigen, für die die Schnabellänge (bill_length_mm) bekannt ist, um konsistente Wahrscheinlichkeiten zu gewährleisten.

2 Lösung

library(tidyverse)

Datenbereinigung und Median-Definition:

Wir definieren den Grundgesamtheit als alle Pinguine, deren Schnabellänge (bill_length_mm) bekannt ist, um konsistente Wahrscheinlichkeiten zu gewährleisten.

penguins_clean <- penguins |>
    drop_na(bill_length_mm)

# Der konsistente Nenner für alle Wahrscheinlichkeiten
N_clean <- nrow(penguins_clean)
N_clean

[1] 342

# Berechne den Median der Schnabellänge für Ereignis B
bill_length_md <- penguins_clean |>
    summarise(median = median(bill_length_mm)) |>
    pull(median)  # pull zieht einen einzelnen Wert aus der Tabelle heraus

# Median der Schnabellänge
bill_length_md  # einzelner Wert, keine Tabelle

[1] 44.45

2.1 A. Pr(A U B)

A ODER B: Spezies ist “Adelie” ODER Schnabellänge ist größer als der Median.

anzahl_a_oder_b <- penguins_clean |>
    filter(species == "Adelie" | bill_length_mm > bill_length_md) |>
    nrow()

Pr_a_oder_b <- anzahl_a_oder_b / N_clean
Pr_a_oder_b

[1] 0.9327485

2.2 B. $Pr(A n B)

A UND B: Spezies ist “Adelie” UND Schnabellänge ist größer als der Median.

anzahl_a_und_b <- penguins_clean |>
    filter(species == "Adelie" & bill_length_mm > bill_length_md) |>
    nrow()

Pr_a_und_b <- anzahl_a_und_b / N_clean
Pr_a_und_b

[1] 0.00877193

2.3 C. $Pr(\neg B)$

NICHT B: Schnabellänge ist kleiner oder gleich dem Median.

anzahl_nicht_b <- penguins_clean |>
    filter(bill_length_mm <= bill_length_md) |>
    nrow()

Pr_nicht_b <- anzahl_nicht_b / N_clean
Pr_nicht_b

[1] 0.5

2.4 D. $Pr(\neg A)$

NICHT A: Das Tier ist nicht von der Spezies “Adelie”.

anzahl_nicht_a <- penguins_clean |>
    filter(species != "Adelie") |>
    nrow()

Pr_nicht_a <- anzahl_nicht_a / N_clean
Pr_nicht_a

[1] 0.5584795

2.5 E. $Pr(A \setminus AB)$

A ohne AB: Die Menge der “Adelie” Pinguine, die NICHT auch B erfüllen. Dies entspricht $A \cap \neg B$.

anzahl_a_minus_ab <- penguins_clean |>
    filter(species == "Adelie" & bill_length_mm <= bill_length_md) |>
    nrow()

Pr_a_minus_ab <- anzahl_a_minus_ab / N_clean
Pr_a_minus_ab

[1] 0.4327485

2.6 F. $Pr(B \setminus AB)$

B ohne AB: Die Menge der Pinguine mit langer Schnabellänge (B), die NICHT auch A erfüllen. Dies entspricht $B \cap \neg A$.

anzahl_b_minus_ab <- penguins_clean |>
    filter(bill_length_mm > bill_length_md & species != "Adelie") |>
    nrow()

Pr_b_minus_ab <- anzahl_b_minus_ab / N_clean
Pr_b_minus_ab

[1] 0.4912281

--- # gleich diese Datei in einem Ordner mit Namen der Aufgabe abspeichern! date: 2025-09-26 draft: false # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE! title: penguins-relationen2 # HIER TITEL DES POSTS EINGEBEN. execute: eval: true highlight-style: arrow cache: true toc: true number-sections: true categories: - probability # ENTER CATEGORIES HERE knitr: opts_chunk: out.width: "75%" --- # Aufgabe ## Hintergrund In dieser Aufgabe betrachten wir die Relationen einiger Ereignisse im Zusammenhang mit dem Datensatz penguins. Sie können den Datensatz z.B. so importieren: ```{r} library(palmerpenguins) # Lade das Paket zuerst data(penguins) # Jetzt wird der Datensatz geladen ``` Sei das Ereignis A das Tier ist von der Spezies "Adelie". Sei das Ereignis B das Tier hat eine Schnabellänge (bill_length_mm) größer als der Median aller Pinguine (des Datensatzes, nur gültige Messungen). Sei AB ein Pinguin, der sowohl A als auch B erfüllt. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten, wobei wir den jeweiligen Anteil der Tiere als Wahrscheinlichkeit interpretieren. ## Teilaufgaben A) $Pr(A \cup B)$ B) $Pr(A \cap B)$ C) $Pr(\neg B)$ D) $Pr(\neg A)$ E) $Pr(A \setminus AB)$ F) $Pr(B \setminus AB)$ *Hinweis*: Die Berechnungen sollen nur Pinguine berücksichtigen, für die die Schnabellänge (`bill_length_mm`) bekannt ist, um konsistente Wahrscheinlichkeiten zu gewährleisten. # Lösung ```{r} library(tidyverse) ``` Datenbereinigung und Median-Definition: Wir definieren den Grundgesamtheit als alle Pinguine, deren Schnabellänge (`bill_length_mm`) bekannt ist, um konsistente Wahrscheinlichkeiten zu gewährleisten. ```{r} penguins_clean <- penguins |> drop_na(bill_length_mm) ``` ```{r} # Der konsistente Nenner für alle Wahrscheinlichkeiten N_clean <- nrow(penguins_clean) N_clean # Berechne den Median der Schnabellänge für Ereignis B bill_length_md <- penguins_clean |> summarise(median = median(bill_length_mm)) |> pull(median) # pull zieht einen einzelnen Wert aus der Tabelle heraus # Median der Schnabellänge bill_length_md # einzelner Wert, keine Tabelle ``` ## A. Pr(A U B) A ODER B: Spezies ist "Adelie" ODER Schnabellänge ist größer als der Median. ```{r} anzahl_a_oder_b <- penguins_clean |> filter(species == "Adelie" | bill_length_mm > bill_length_md) |> nrow() Pr_a_oder_b <- anzahl_a_oder_b / N_clean Pr_a_oder_b ``` ## B. $Pr(A n B) A UND B: Spezies ist "Adelie" UND Schnabellänge ist größer als der Median. ```{r} anzahl_a_und_b <- penguins_clean |> filter(species == "Adelie" & bill_length_mm > bill_length_md) |> nrow() Pr_a_und_b <- anzahl_a_und_b / N_clean Pr_a_und_b ``` ## C. $Pr(\neg B)$ NICHT B: Schnabellänge ist kleiner oder gleich dem Median. ```{r} anzahl_nicht_b <- penguins_clean |> filter(bill_length_mm <= bill_length_md) |> nrow() Pr_nicht_b <- anzahl_nicht_b / N_clean Pr_nicht_b ``` ## D. $Pr(\neg A)$ NICHT A: Das Tier ist nicht von der Spezies "Adelie". ```{r} anzahl_nicht_a <- penguins_clean |> filter(species != "Adelie") |> nrow() Pr_nicht_a <- anzahl_nicht_a / N_clean Pr_nicht_a ``` ## E. $Pr(A \setminus AB)$ A ohne AB: Die Menge der "Adelie" Pinguine, die NICHT auch B erfüllen. Dies entspricht $A \cap \neg B$. ```{r} anzahl_a_minus_ab <- penguins_clean |> filter(species == "Adelie" & bill_length_mm <= bill_length_md) |> nrow() Pr_a_minus_ab <- anzahl_a_minus_ab / N_clean Pr_a_minus_ab ``` ## F. $Pr(B \setminus AB)$ B ohne AB: Die Menge der Pinguine mit langer Schnabellänge (B), die NICHT auch A erfüllen. Dies entspricht $B \cap \neg A$. ```{r} anzahl_b_minus_ab <- penguins_clean |> filter(bill_length_mm > bill_length_md & species != "Adelie") |> nrow() Pr_b_minus_ab <- anzahl_b_minus_ab / N_clean Pr_b_minus_ab ```

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1 Aufgabe

1.1 Hintergrund

1.2 Teilaufgaben

2 Lösung

2.1 A. Pr(A U B)

2.2 B. $Pr(A n B)

2.3 C. \(Pr(\neg B)\)

2.4 D. \(Pr(\neg A)\)

2.5 E. \(Pr(A \setminus AB)\)

2.6 F. \(Pr(B \setminus AB)\)