penguins-relationen

1 Aufgabe

1.1 Hintergrund

In dieser Aufgabe betrachten wir die Relationen einiger Ereignisse im Zusammenhang mit dem Datensatz penguins.

Sie können den Datensatz z.B. so importieren:

data(penguins, package = "palmerpenguins")  # Paket muss installiert sein

Sei das Ereignis \(W\) ein weiblicher Pinguin. Sei das Ereignis \(S\) ein “schwerer” Pinguin, definiert als schwerer als der Median aller Pinguine (des Datensatzes). Sei \(WS\) ein weiblicher, schwerer Pinguin.

Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten, wobei wir den jeweiligen Anteil der Tiere als Wahrscheinlichkeit interpretieren.

1.2 Teilaufgaben

1. \(Pr(W \cup S)\)
2. \(Pr(W \cap S)\)
3. \(Pr(\neg S)\)
4. \(Pr(\neg W)\)
5. \(Pr(W \setminus WS)\)
6. \(Pr(S \setminus WS)\)

Hinweise:

• Beachten Sie die üblichen Hinweise des Datenwerks.

2 Lösung

Setup:

library(tidyverse)

Median berechnen:

penguins |> 
    drop_na(body_mass_g) |> 
    summarise(body_mass_g_mean = median(body_mass_g))

body_mass_g_mean
4050

weight_md <- 
    penguins |> 
    drop_na(body_mass_g) |> 
    summarise(body_mass_g_mean = median(body_mass_g))

weight_md

body_mass_g_mean
4050

2.1 A. \(Pr(W \cup S)\)

Das logische “ODER” wird vom |-Operator abgebildet in R:

penguins |> 
    filter(sex == "female" | body_mass_g > weight_md) |> 
    nrow()

[1] 261

Das sind 261 Zeilen von insgesamt 344:

nrow(penguins)

[1] 344

Also:

261/344

[1] 0.7587209

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 76%.

2.2 B. \(Pr(W \cap S)\)

Das logische “UND” wird vom &-Operator abgebildet in R:

anzahl_w_und_s <- 
penguins |> 
    filter(sex == "female" & body_mass_g > weight_md) |> 
    nrow()

anzahl_w_und_s

[1] 53

Das sind 53 Zeilen von insgesamt 344, also:

anzahl_w_und_s/nrow(penguins)

[1] 0.1540698

2.3 C. \(Pr(\neg S)\)

penguins |> 
    filter(body_mass_g <= weight_md) |> 
    nrow() / nrow(penguins)

[1] 0.5610465

2.4 D. \(Pr(\neg W)\)

penguins |> 
    filter(sex != "female")  |> 
    nrow() / nrow(penguins)

[1] 0.4883721

2.5 E. \(Pr(W \setminus WS)\)

Die Logische Differenz bekommt man in R mit der Funktion setdiff.

weiblich <- penguins |> filter(sex == "female")

weiblich_schwer <-  
    penguins |>
    filter(sex == "female", body_mass_g > weight_md)

weiblich_minus_weiblichschwer <- setdiff(weiblich, weiblich_schwer)

weiblich_minus_weiblichschwer |> 
    head()

species	island	bill_length_mm	bill_depth_mm	flipper_length_mm	body_mass_g	sex	year
Adelie	Torgersen	39.5	17.4	186	3800	female	2007
Adelie	Torgersen	40.3	18.0	195	3250	female	2007
Adelie	Torgersen	36.7	19.3	193	3450	female	2007
Adelie	Torgersen	38.9	17.8	181	3625	female	2007
Adelie	Torgersen	41.1	17.6	182	3200	female	2007
Adelie	Torgersen	36.6	17.8	185	3700	female	2007

weiblich_minus_weiblichschwer |> 
    nrow() / nrow(penguins)

[1] 0.3255814

Es gibt mehrere Wege, die logische Differenz zu berechnen.

2.6 F. \(Pr(S \setminus WS)\)

schwer <- penguins |> filter(body_mass_g > weight_md)

schwer_minus_weiblichschwer <- setdiff(schwer, weiblich_schwer)

schwer_minus_weiblichschwer |> head()

species	island	bill_length_mm	bill_depth_mm	flipper_length_mm	body_mass_g	sex	year
Adelie	Torgersen	39.2	19.6	195	4675	male	2007
Adelie	Torgersen	42.0	20.2	190	4250	NA	2007
Adelie	Torgersen	34.6	21.1	198	4400	male	2007
Adelie	Torgersen	42.5	20.7	197	4500	male	2007
Adelie	Dream	39.8	19.1	184	4650	male	2007
Adelie	Dream	44.1	19.7	196	4400	male	2007

schwer_minus_weiblichschwer |> 
    nrow() / nrow(penguins)

[1] 0.2790698

2.7 Hinweis

Der Nenner der Wahrscheinlichkeit sollte die Anzahl aller Pinguine sein, für die alle relevanten Informationen verfügbar sind. Da body_mass_g und sex für die gesamte Aufgabe relevant sind, sollten nur Tiere ohne fehlende Werte in diesen Spalten betrachtet werden.

penguins_nona <- penguins |> drop_na(body_mass_g, sex)