lm-Standardfehler

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lm
qm2
Published

September 4, 2022

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.07923 -0.30544 -0.03081  0.36343  0.84712 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.2339     0.1398  -1.673    0.117    
x             0.8345     0.1360   6.134 2.59e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5403 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7288,    Adjusted R-squared:  0.7095 
F-statistic: 37.63 on 1 and 14 DF,  p-value: 2.588e-05

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

  • \(2^5\)
  • \(2^6\)
  • \(2^7\)
  • \(2^8\)
  • \(2^9\)











Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.8316 -0.1946 -0.0425  0.3256  0.6255 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01046    0.06642  -0.157    0.876    
x            1.04145    0.05963  17.464   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3757 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9104,    Adjusted R-squared:  0.9075 
F-statistic:   305 on 1 and 30 DF,  p-value: < 2.2e-16

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket easystats verwendet:

library(easystats)
lm5 %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0104562 0.0664176 0.95 -0.1460991 0.1251866 -0.1574316 30 0.8759596
x 1.0414489 0.0596325 0.95 0.9196630 1.1632348 17.4644417 30 0.0000000

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0213003 0.0594411 0.95 -0.1401213 0.0975207 -0.3583437 62 0.7213034
x 1.0476647 0.0563846 0.95 0.9349535 1.1603759 18.5806847 62 0.0000000 
n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0066524 0.0429842 0.95 -0.0784121 0.0917169 0.154764 126 0.877255
x 0.9692920 0.0449156 0.95 0.8804053 1.0581787 21.580293 126 0.000000 
n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0692029 0.0308774 0.95 -0.1300112 -0.0083947 -2.24122 254 0.0258761
x 1.0541751 0.0308630 0.95 0.9933951 1.1149551 34.15660 254 0.0000000 
n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0112189 0.0217875 0.95 -0.0540232 0.0315854 -0.5149226 510 0.6068302
x 1.0121220 0.0215441 0.95 0.9697959 1.0544482 46.9790437 510 0.0000000

Answerlist

  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

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