lm-standardfehler

inference
lm
qm2
Published

September 4, 2022

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.28501 -0.06537  0.11524  0.18954  0.96063 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   0.1263     0.1433   0.882    0.393    
x             1.1304     0.1124  10.053 8.75e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5718 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8783,    Adjusted R-squared:  0.8696 
F-statistic: 101.1 on 1 and 14 DF,  p-value: 8.753e-08

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

  • \(2^5\)
  • \(2^6\)
  • \(2^7\)
  • \(2^8\)
  • \(2^9\)











Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.58715 -0.30504 -0.03115  0.25804  0.74951 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.04030    0.06408  -0.629    0.534    
x            0.88619    0.06150  14.409 5.08e-15 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3624 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8738,    Adjusted R-squared:  0.8695 
F-statistic: 207.6 on 1 and 30 DF,  p-value: 5.076e-15

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket easystats verwendet:

library(easystats)
lm5 %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0402978 0.0640774 0.95 -0.1711612 0.0905656 -0.6288933 30 0.5341786
x 0.8861938 0.0615019 0.95 0.7605901 1.0117975 14.4092024 30 0.0000000

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0684912 0.0590945 0.95 -0.0496370 0.1866195 1.159011 62 0.2508961
x 0.9985602 0.0609734 0.95 0.8766762 1.1204442 16.376991 62 0.0000000 
n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0069345 0.0440282 0.95 -0.0801960 0.0940649 0.1575007 126 0.8751024
x 1.0607751 0.0425744 0.95 0.9765216 1.1450286 24.9157931 126 0.0000000 
n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0251614 0.0339603 0.95 -0.0417181 0.092041 0.7409088 254 0.4594331
x 1.0099273 0.0334406 0.95 0.9440712 1.075783 30.2006577 254 0.0000000 
n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0140248 0.0208104 0.95 -0.0549095 0.0268599 -0.6739329 510 0.5006593
x 0.9988353 0.0203328 0.95 0.9588889 1.0387818 49.1242208 510 0.0000000

Answerlist

  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

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