Klausuren-bestehen

probability

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Eine Studentin hat zwei Klausuren, $A$ und $B$ geschrieben. Sie schätzt ihre Chancen zu bestehen auf 35% bzw. auf 60%. Unterstellen Sie Unabhängigkeit der Ereignisse.

Aufgabe: Wie groß ist die Chance, mindestens eine der beiden Klausuren zu bestehen?

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Es gibt mehrere Wege, die Aufgabe zu lösen.

Direkte Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen.
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich durch beide Klausuren durchzurasseln, und Subtraktion von 1.

Die Wahrscheinlichkeiten, die Klausuren $A$ und $B$ zu bestehen, sind:

Pr_A <- .35
Pr_B <- .6

Lösung über die Gegenwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen, ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten (wegen der Unabhängigkeit):

Pr_AB <- Pr_A * Pr_B
Pr_AB

[1] 0.21

Die Wahrscheinlichkeit, durch beide Klausuren durchzurasseln nennen wir Pr_negA_negB:

Pr_NA <- 1 - Pr_A
Pr_NB <- 1 - Pr_B

Pr_negA_negB <- Pr_NA * Pr_NB
Pr_negA_negB

[1] 0.26

Das Gegenteil des “doppelten Durchrasselns”, Pr_negA_negB, ist, mindestens eine Klausur zu bestehen:

Pr_mind1_bestanden <- 1 - Pr_negA_negB
Pr_mind1_bestanden

[1] 0.74

Die Lösung lautet 0.74.

Lösung über die direkte Berechnung

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, genau eine Klausur zu bestehen, plus die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen.

Die Wahrscheinlichkeit, genau eine Klausur zu bestehen, ist:

Pr_genau1_bestanden <- Pr_A * (1 - Pr_B) + (1 - Pr_A) * Pr_B
Pr_genau1_bestanden

[1] 0.53

Die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen, hatten wir bereits berechnet:

Pr_AB <- Pr_A * Pr_B
Pr_AB

[1] 0.21

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also:

Pr_mind1_bestanden_2 <- Pr_genau1_bestanden + Pr_AB
Pr_mind1_bestanden_2

[1] 0.74

Die Lösung lautet 0.74.

Lösung mit dem Additionssatz

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen, ist auch über den Additionssatz berechenbar:

Pr_mind1_bestanden_3 <- Pr_A + Pr_B - Pr_AB
Pr_mind1_bestanden_3

[1] 0.74

Die Lösung lautet 0.74.

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--- exname: Klausuren-bestehen extype: num exsolution: r exams::fmt(sol) exshuffle: no extol: 0.01 expoints: 1 categories: - R - probability - num date: '2023-11-08' title: Klausuren-bestehen --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Eine Studentin hat zwei Klausuren, $A$ und $B$ geschrieben. Sie schätzt ihre Chancen zu bestehen auf 35% bzw. auf 60%. Unterstellen Sie Unabhängigkeit der Ereignisse. *Aufgabe*: Wie groß ist die Chance, mindestens eine der beiden Klausuren zu bestehen? Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung Es gibt mehrere Wege, die Aufgabe zu lösen. 1. Direkte Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen. 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich durch beide Klausuren durchzurasseln, und Subtraktion von 1. Die Wahrscheinlichkeiten, die Klausuren $A$ und $B$ zu bestehen, sind: ```{r} Pr_A <- .35 Pr_B <- .6 ``` ## Lösung über die Gegenwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen, ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten (wegen der Unabhängigkeit): ```{r} Pr_AB <- Pr_A * Pr_B Pr_AB ``` Die Wahrscheinlichkeit, durch beide Klausuren durchzurasseln nennen wir `Pr_negA_negB`: ```{r} Pr_NA <- 1 - Pr_A Pr_NB <- 1 - Pr_B Pr_negA_negB <- Pr_NA * Pr_NB Pr_negA_negB ``` Das Gegenteil des "doppelten Durchrasselns", `Pr_negA_negB`, ist, mindestens eine Klausur zu bestehen: ```{r} Pr_mind1_bestanden <- 1 - Pr_negA_negB Pr_mind1_bestanden ``` ```{r} #| echo: false sol <- Pr_mind1_bestanden ``` Die Lösung lautet ``r sol``. ## Lösung über die direkte Berechnung Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, genau eine Klausur zu bestehen, plus die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, genau eine Klausur zu bestehen, ist: ```{r} Pr_genau1_bestanden <- Pr_A * (1 - Pr_B) + (1 - Pr_A) * Pr_B Pr_genau1_bestanden ``` Die Wahrscheinlichkeit, beide Klausuren zu bestehen, hatten wir bereits berechnet: ```{r} Pr_AB <- Pr_A * Pr_B Pr_AB ``` Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also: ```{r} Pr_mind1_bestanden_2 <- Pr_genau1_bestanden + Pr_AB Pr_mind1_bestanden_2 ``` ```{r} #| echo: false sol2 <- Pr_mind1_bestanden_2 ``` Die Lösung lautet ``r sol2``. ## Lösung mit dem Additionssatz Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Klausur zu bestehen, ist auch über den Additionssatz berechenbar: ```{r} Pr_mind1_bestanden_3 <- Pr_A + Pr_B - Pr_AB Pr_mind1_bestanden_3 ``` ```{r} #| echo: false sol3 <- Pr_mind1_bestanden_3 ``` Die Lösung lautet ``r sol3``. --- Categories: - R - probability - num