iq08

probability

simulation

normal-distribution

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

An einer Elite-Hochschule wird man nur zugelassen, wenn man sowohl schön als auch schlau ist.

“Schön” sei definiert als eine SD-Einheit über dem mittleren Aussehen, unter der Annahme, dass Aussehen normalverteilt ist.

“Schlau” sei definiert als eine SD-Einheit über dem mittleren Wert, unter der Annahme, dass die Variable normalverteilt ist.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, an dieser Elite-Uni zugelassen zu werden?

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender Verteilung für Schönheit und für Schlauheit aus: $X \sim N(0,1)$
Intelligenz und Schönheit sollen als unabhängig angenommen werden.
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie $n=10^4$ Stichproben.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
Weitere Hinweise

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit für “schön”, $S1$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit für “Schlau”, $S2$.

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten:

set.seed(42)

d <- tibble(
  id = 1:10^4,
  schoenheit = rnorm(n = 10^4, mean = 0, sd = 1),
  schlauheit = rnorm(n = 10^4, mean = 0, sd = 1))

Da es nur um Anteile (bzw. Wahrscheinlichkeiten) der Population geht, können wir mit z-Werten arbeiten.

Zur Erinnerung: Ein z-Wert von 1 bedeutet, dass der Messwert eine SD-Einheit größer ist als der Mittelwert der Verteilung.

Dann filtern wir wie in der Angabe gefragt:

d2 <-
  d %>% 
  count(schoenheit > 1, schlauheit > 1) %>%  # Das Komma wird als logisches UND interpretiert
  mutate(prop = n / sum(n))

d2

schoenheit > 1	schlauheit > 1	n	prop
FALSE	FALSE	7082	0.7082
FALSE	TRUE	1364	0.1364
TRUE	FALSE	1314	0.1314
TRUE	TRUE	240	0.0240

Wieder nehmen wir den Anteil her und bezeichnen ihn als Wahrscheinlichkeit. Das ist eine schöne Sache dieser Simulationsmethoden: Es vereinfacht die Angelegenheit, denn mit Häufigkeiten lässt sich einfacher hantieren als mit Wahrscheinlichkeiten. Und die Anteile erfüllen die Kolmogorov-Axiome, wir können also beruhigt rechnen. Falls Sie also vor Sorge um die Reinheit der Mathematik nicht schlafen konnten, kann ich Sie insofern beruhigen :-)

Natürlich könnte man die Frage auch analytisch lösen (mit dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert $x >= 115, X \sim N(100,15)$ beträgt:

pr_1sd_ueber_mw <- 1- pnorm(115, 100, 15)
pr_1sd_ueber_mw

[1] 0.1586553

Dannn:

pr_1sd_ueber_mw * pr_1sd_ueber_mw

[1] 0.02517149

Antwort: Die Lösung lautet also 0.024.

Interessant ist es vielleicht, die Gesamtpopulation zu visualisieren:

d %>% 
  mutate(ist_schoen = if_else(schoenheit > 1, TRUE, FALSE),
         ist_schlau = if_else(schlauheit > 1, TRUE, FALSE),
         ist_schoen_schlau = if_else(ist_schoen & ist_schlau, TRUE, FALSE)) %>% 
  ggplot() +
  aes(x = schoenheit, y = schlauheit, color = ist_schoen_schlau, alpha = .1) +
  geom_point()

Wäre die Aufnahmeregel, dass es reichte, entweder schön oder schlau (beides ist auch ok) zu sein, wäre der Anteil an zugelassenen Personen größer:

d3 <-
  d %>% 
  count(schoenheit > 1 | schlauheit > 1) %>%  # der horizontale Balken steht für das logische ODER.
  mutate(prop = n / sum(n))

d3

schoenheit > 1 \| schlauheit > 1	n	prop
FALSE	7082	0.7082
TRUE	2918	0.2918

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
num

--- exname: iq08 extype: num exsolution: r exams::fmt(solution, 2) exshuffle: no extol: 0.02 expoints: 1 categories: - probability - simulation - normal-distribution - num date: '2023-11-08' slug: iq08 title: iq08 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe An einer Elite-Hochschule wird man nur zugelassen, wenn man sowohl schön als auch schlau ist. "Schön" sei definiert als eine SD-Einheit über dem mittleren Aussehen, unter der Annahme, dass Aussehen normalverteilt ist. "Schlau" sei definiert als eine SD-Einheit über dem mittleren Wert, unter der Annahme, dass die Variable normalverteilt ist. *Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, an dieser Elite-Uni zugelassen zu werden?* Hinweise: - Nutzen Sie Simulationsmethoden. - Gehen Sie von folgender Verteilung für Schönheit und für Schlauheit aus: $X \sim N(0,1)$ - Intelligenz und Schönheit sollen als unabhängig angenommen werden. - Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt). - Simulieren Sie $n=10^4$ Stichproben. - Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten). - [Weitere Hinweise](https://start-bayes.netlify.app/pruefung#bearbeitungshinweise) # Lösung Die Wahrscheinlichkeit für "schön", $S1$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit für "Schlau", $S2$. ```{r} library(tidyverse) ``` Wir simulieren die Daten: ```{r} set.seed(42) d <- tibble( id = 1:10^4, schoenheit = rnorm(n = 10^4, mean = 0, sd = 1), schlauheit = rnorm(n = 10^4, mean = 0, sd = 1)) ``` Da es nur um Anteile (bzw. Wahrscheinlichkeiten) der Population geht, können wir mit z-Werten arbeiten. Zur Erinnerung: Ein z-Wert von 1 bedeutet, dass der Messwert eine SD-Einheit größer ist als der Mittelwert der Verteilung. Dann filtern wir wie in der Angabe gefragt: ```{r} d2 <- d %>% count(schoenheit > 1, schlauheit > 1) %>% # Das Komma wird als logisches UND interpretiert mutate(prop = n / sum(n)) d2 ``` Wieder nehmen wir den Anteil her und bezeichnen ihn als Wahrscheinlichkeit. Das ist eine schöne Sache dieser Simulationsmethoden: Es vereinfacht die Angelegenheit, denn mit Häufigkeiten lässt sich einfacher hantieren als mit Wahrscheinlichkeiten. Und die Anteile erfüllen die Kolmogorov-Axiome, wir können also beruhigt rechnen. Falls Sie also vor Sorge um die Reinheit der Mathematik nicht schlafen konnten, kann ich Sie insofern beruhigen :-) Natürlich könnte man die Frage auch analytisch lösen (mit dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse). Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert $x >= 115, X \sim N(100,15)$ beträgt: ```{r} pr_1sd_ueber_mw <- 1- pnorm(115, 100, 15) pr_1sd_ueber_mw ``` Dannn: ```{r} pr_1sd_ueber_mw * pr_1sd_ueber_mw ``` ```{r echo = FALSE} solution <- d2 %>% pull(prop) %>% magrittr::extract(4) ``` **Antwort**: *Die Lösung lautet also `r solution`.* Interessant ist es vielleicht, die Gesamtpopulation zu visualisieren: ```{r} d %>% mutate(ist_schoen = if_else(schoenheit > 1, TRUE, FALSE), ist_schlau = if_else(schlauheit > 1, TRUE, FALSE), ist_schoen_schlau = if_else(ist_schoen & ist_schlau, TRUE, FALSE)) %>% ggplot() + aes(x = schoenheit, y = schlauheit, color = ist_schoen_schlau, alpha = .1) + geom_point() ``` Wäre die Aufnahmeregel, dass es reichte, entweder schön oder schlau (beides ist auch ok) zu sein, wäre der Anteil an zugelassenen Personen größer: ```{r} d3 <- d %>% count(schoenheit > 1 | schlauheit > 1) %>% # der horizontale Balken steht für das logische ODER. mutate(prop = n / sum(n)) d3 ``` --- Categories: - probability - simulation - normal-distribution - num