iq04

probability

simulation

normal-distribution

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem IQ-Test ermittelt.

Wie intelligent muss man sein, um zu den schlauesten 2% Personen in der Allgemeinbevölkerung zu gehören?

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: \(IQ \sim N(100,15)\).
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie \(n=10^3\) Stichproben.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.

Lösung

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten:

set.seed(42)
d <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))

Wir filtern die schlauesten 2 Prozent:

solution_d <- 
  d %>% 
  arrange(iq) %>% 
  slice_tail(prop = 0.02) %>%  # schneide "hinten an der Tabelle" einen Anteil (prop) von 0.02 (2%) ab
  summarise(min(iq))  # was ist der kleinste Wert in diesen 2%?

solution_d

# A tibble: 1 × 1
  `min(iq)`
      <dbl>
1      130.

Die Syntax auf Deutsch übersetzt:

Definiere solution_d wie folgt:
nimm die Tabelle d und dann ...
sortiere (aufsteigend) die Spalte iq und dann ...
schneide hinten ("am Schwanz") einen Anteil von 2% ab und dann ...
fasse diese Liste an Werten zusammen zu ihrem Minimum (also dem kleinsten Wert).

Alternativ könnte man schreiben:

solution <- 
  d %>% 
  summarise(iq_top_2komma3_prozent = quantile(iq, prob = .98))

solution

# A tibble: 1 × 1
  iq_top_2komma3_prozent
                   <dbl>
1                   130.

Lösung: 130.2767958.

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
num

---
exname: iq04
extype: num
exsolution: 130
exshuffle: no
extol: 2
expoints: 1
categories:
- probability
- simulation
- normal-distribution
- num
date: '2023-11-08'
slug: iq04
title: iq04

---






```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem *IQ-Test* ermittelt.

*Wie intelligent muss man sein, um zu den schlauesten 2% Personen in der Allgemeinbevölkerung zu gehören?*



Hinweise:

- Nutzen Sie Simulationsmethoden.
- Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$.
- Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
- Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben.
- Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
- Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.



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# Lösung


```{r}
library(tidyverse)
```

Wir simulieren die Daten:

```{r}
set.seed(42)
d <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))
```


Wir filtern die schlauesten 2 Prozent:


```{r}
solution_d <- 
  d %>% 
  arrange(iq) %>% 
  slice_tail(prop = 0.02) %>%  # schneide "hinten an der Tabelle" einen Anteil (prop) von 0.02 (2%) ab
  summarise(min(iq))  # was ist der kleinste Wert in diesen 2%?

solution_d
```


Die Syntax auf Deutsch übersetzt:

```
Definiere solution_d wie folgt:
nimm die Tabelle d und dann ...
sortiere (aufsteigend) die Spalte iq und dann ...
schneide hinten ("am Schwanz") einen Anteil von 2% ab und dann ...
fasse diese Liste an Werten zusammen zu ihrem Minimum (also dem kleinsten Wert).
```


Alternativ könnte man schreiben:

```{r}
solution <- 
  d %>% 
  summarise(iq_top_2komma3_prozent = quantile(iq, prob = .98))

solution
```


Lösung: `r solution`.




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Categories: 

- probability
- simulation
- normal-distribution
- num