iq03

probability

simulation

normal-distribution

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem IQ-Test ermittelt.

Personen mit einem Testwert von höchstens 100 Punkten kann man als “nicht überdurchschnittlich intelligent” bezeichnen.

Definieren wir also das Ereignis “nicht überdurchschnittlich intelligent” als “die nächste Person, die Sie treffen, hat einen IQ von höchstens 100 Punkten”.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, nicht überdurchschnittlich intelligent ist?

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: \(IQ \sim N(100,15)\).
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie \(n=10^3\) Stichproben.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.

Lösung

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten:

set.seed(42)
d <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd= 15))

Da \(\sigma=15\), filtern wir bis höchstens 100:

solution_d <- 
  d %>% 
  count(iq <= 100) %>% 
  mutate(prop = n / sum(n))

solution_d

# A tibble: 2 × 3
  `iq <= 100`     n  prop
  <lgl>       <int> <dbl>
1 FALSE         485 0.485
2 TRUE          515 0.515

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit für “nicht überdurchschnittlich intelligent” beträgt ca. 0.52.

Das Ereignis “nicht überdurchschnittlich intelligent” kann man vielleicht einfacher - und auf jeden Fall präziser benennen mit \(iq \le 100\).

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
num

---
exname: iq03
extype: num
exsolution: r sol
exshuffle: no
extol: 0.03
expoints: 1
categories:
- probability
- simulation
- normal-distribution
- num
date: '2023-11-08'
slug: iq03
title: iq03

---







```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem *IQ-Test* ermittelt.

Personen mit einem Testwert von höchstens 100 Punkten kann man als "nicht überdurchschnittlich intelligent" bezeichnen.

Definieren wir also das Ereignis "nicht überdurchschnittlich intelligent" als "die nächste Person, die Sie treffen, hat einen IQ von höchstens 100 Punkten".


*Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, nicht überdurchschnittlich intelligent ist?*

Hinweise:

- Nutzen Sie Simulationsmethoden.
- Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$.
- Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
- Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben.
- Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
- Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.



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# Lösung


```{r}
library(tidyverse)
```

Wir simulieren die Daten:

```{r}
set.seed(42)
d <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd= 15))
```


Da $\sigma=15$, filtern wir bis höchstens 100:


```{r}
solution_d <- 
  d %>% 
  count(iq <= 100) %>% 
  mutate(prop = n / sum(n))

solution_d
```



```{r echo = FALSE}
sol <- 
  solution_d %>% 
  pull(prop) %>% 
  magrittr::extract(2) %>% 
  round(2)
```


Lösung: Die Wahrscheinlichkeit für "nicht überdurchschnittlich intelligent" beträgt ca. `r  sol`.

Das Ereignis  "nicht überdurchschnittlich intelligent" kann man vielleicht einfacher - und auf jeden Fall präziser benennen mit $iq \le 100$.




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Categories: 

- probability
- simulation
- normal-distribution
- num