iq02

probability

simulation

normal-distribution

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem IQ-Test ermittelt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, mindestens zwei Streuungseinheiten über dem Mittelwert liegt?

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: \(IQ \sim N(100,15)\).
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie \(n=10^3\) Stichproben.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
Wir wollen hier keine Post-Verteilung berechnen, sondern lediglich Werte simulieren.

Lösung

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten:

set.seed(42)  # Reproduzierbarkeit
d <- tibble(
  id = 1:10^3,  # Der Doppelpunkt heißt "bis", also "von 1 bis 10 hoch 3". Diese Spalte ist nicht so wichtig.
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))

head(d)  # Die ersten paar Zeilen

# A tibble: 6 × 2
     id    iq
  <int> <dbl>
1     1 121. 
2     2  91.5
3     3 105. 
4     4 109. 
5     5 106. 
6     6  98.4

Da \(\sigma=15\), filtern wir ab 130, da 130 genau 2 SD-Einheiten über dem Mittelwert liegt: 130 - 2*15 = 100.

d %>% 
  count(iq >= 130)

# A tibble: 2 × 2
  `iq >= 130`     n
  <lgl>       <int>
1 FALSE         979
2 TRUE           21

21/1000 sind ca. 0.02.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 2%.

Ja, diese Aufgaben ist faktisch identische zur Aufgabe iq01. Darum ging es: Sie sollen erkennen, dass ein IQ-Wert von 130 das gleiche ist wie MW+2sd.

Übrigens: “Wie viele SD-Einheiten liegt der Wert von Beobachtung \(i\) über dem Mittelwert, \(\bar{X}\) ?” ist die Frage, die der z-Wert beantwortet:

\(z_i = \frac{x_i - \bar{X}}{sd(x)}\)

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
num

---
exname: iq02
extype: num
exsolution: r sol
exshuffle: no
extol: 0.03
expoints: 1
categories:
- probability
- simulation
- normal-distribution
- num
date: '2023-11-08'
slug: iq02
title: iq02

---








```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem *IQ-Test* ermittelt.


*Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, mindestens zwei Streuungseinheiten über dem Mittelwert liegt?*

Hinweise:

- Nutzen Sie Simulationsmethoden.
- Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$.
- Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
- Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben.
- Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
- Wir wollen hier keine Post-Verteilung berechnen, sondern lediglich Werte simulieren.


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</br>

# Lösung


```{r}
library(tidyverse)
```

Wir simulieren die Daten:


```{r}
set.seed(42)  # Reproduzierbarkeit
d <- tibble(
  id = 1:10^3,  # Der Doppelpunkt heißt "bis", also "von 1 bis 10 hoch 3". Diese Spalte ist nicht so wichtig.
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))

head(d)  # Die ersten paar Zeilen
```


Da $\sigma=15$, filtern wir ab 130, da 130 genau 2 SD-Einheiten über dem Mittelwert liegt: `130 - 2*15 = 100`.


```{r}
d %>% 
  count(iq >= 130)
```

`21/1000` sind ca. 0.02.




Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 2%.

```{r echo = FALSE}
sol <- d %>% 
  filter(iq >= 130) %>% 
  nrow() / 1000
```


Ja, diese Aufgaben ist faktisch identische zur Aufgabe [iq01](https://datenwerk.netlify.app/posts/iq01/iq01.html). 
Darum ging es: Sie sollen erkennen, dass ein IQ-Wert von 130 das gleiche ist wie MW+2sd.

Übrigens: "Wie viele SD-Einheiten liegt der Wert von Beobachtung $i$ über dem Mittelwert, $\bar{X}$ ?" ist die Frage,
die der z-Wert beantwortet:


$z_i = \frac{x_i - \bar{X}}{sd(x)}$





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Categories: 

- probability
- simulation
- normal-distribution
- num