groesse01

2023

bayes

bayesbox

string

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Wir interessieren uns für die typische Körpergröße deutscher Studentis. Hier findet sich dazu ein Datensatz.

Ausgehend von der Annahme, dass sich die Körpergröße normalverteilt (innerhalb eines Geschlechts) suchen wir die Parameter der Normalverteilung, also Mittelwert und Streuung.

Gehen wir von folgenden Apriori-Wahrscheinlichkeiten für die Parameter der Normalverteilung aus:

Mittelwert: 150cm bis 200 cm, jeder Wert gleich plausibel, alle anderen Werte unmöglich
SD: 1cm bis 20cm, jeder Wert gleich plausibel, alle anderen Werte unmöglich

Ja, das sind ziemlich einfältige Annahmen, aber gut, fangen wir damit an.

Erstellen Sie eine Bayes-Box!

Hinweise:

Untersuchen Sie den angegebenen Parameterbereich in 1cm-Schritten.
Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

library(pradadata)  # für den Datensatz `wo_men`
library(prada)  # für bayesbox, alternativ mit `source`
library(tidyverse)
library(ggpubr)

Daten importieren:

data(wo_men)

Mittelwert in der Stichprobe:

wo_men |> 
  group_by(sex) |> 
  summarise(height_avg = mean(height, na.rm = TRUE),
            height_sd = sd(height, na.rm = TRUE))

# A tibble: 3 × 3
  sex   height_avg height_sd
  <chr>      <dbl>     <dbl>
1 man         183.      9.96
2 woman       161.     42.8 
3 <NA>        NaN      NA

Zur Berechnung der Likelihoods diskretisieren wir die stetige Variable height in Stufen von jeweils 1cm, der Einfachheit halber.

Die Wahrscheinlichkeit für das 1cm-Intervall um unserem Stichprobenergebnis herem (182.5cm bis 183.5cm), bei z.B. einem Mittelwert von 180cm und einer SD von 10cm, entspricht dann dieser Differenz:

obere_grenze <- pnorm(q = 183 + 0.5, mean = 180, sd = 10)
untere_grenze <- pnorm(q = 183 - 0.5, mean = 180, sd = 10)

obere_grenze

[1] 0.6368307

untere_grenze

[1] 0.5987063

obere_grenze - untere_grenze

[1] 0.03812433

Visualisieren wir uns kurz dieses Intervall.

library(mosaic)
xpnorm(q = c(182.5, 183.5), mean = 180, sd = 10)

[1] 0.5987063 0.6368307

Als nächstes legen wir die Werte für unsere Bayes-Box fest.

norm_mean <- seq(from = 150, to = 200, by = 1)
norm_sd <- seq(from = 1, to = 20, by = 1)

Jetzt bauen wir unsere Bayes-Box.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Parameter für alle Kombinationen aus 51 Mittelwerten und 20 SD-Werten prüfen wollen, wird die Tabelle ganz schön lang:

anzahl_kombinationen <- length(norm_mean) * length(norm_sd)
anzahl_kombinationen

[1] 1020

Mit expand_grid kann man sich eine Tabelle erstellen lassen, die alle Kombinationen zweier Variablen aufschreibt:

bayes_box <-
  expand_grid(norm_mean, norm_sd)

head(bayes_box)

# A tibble: 6 × 2
  norm_mean norm_sd
      <dbl>   <dbl>
1       150       1
2       150       2
3       150       3
4       150       4
5       150       5
6       150       6

Das sind unsere Parameterwerte: Jede Kombination eines Mittelwerts und einer Streuung ist eine Hypothese. Insgesamt haben wir also 1020 Parameterwerte.

So, bauen wir die Bayes-Box weiter:

L <- pnorm(183.5, mean = bayes_box$norm_mean, sd = bayes_box$norm_sd)

bayes_box2 <-
  bayes_box |> 
  mutate(hyp = 1:anzahl_kombinationen,
         lik = L,
         post_unstand = hyp * lik,
         post_std = post_unstand / sum(post_unstand))

Schauen wir uns die Post-Verteilung einmal an:

ggline(bayes_box2,
       x = "hyp",
       y = "post_std")

Ohje! Da stimmt was nicht! Warum sieht die Post-Verteilung so komisch aus?

Die Antwort ist, dass für einen bestimmten Mittelwert jeweils 10 verschiedene SD-Werte zugeordnet sind. Und jeder SD-Wert (für einen MW-Wert) hat eine andere Post-Wahrscheinlichkeit!

Was wir machen können, ist die beiden Parameter MW und SD einzeln aufzuschlüsseln, aber gemeinsam zu betrachten:

bayes_box2 |> 
  ggplot() +
  aes(x = norm_sd,
      y = norm_mean,
      fill = post_std) +
  geom_tile() +
  scale_fill_viridis_c()

Categories:

2023
bayes
bayesbox
string

--- exname: groesse01 expoints: 1 extype: string exsolution: NA categories: - 2023 - bayes - bayesbox - string date: '2023-11-08' slug: groesse01 title: groesse01 ---  ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, # ECHO IS FALSE!!! message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Wir interessieren uns für die typische Körpergröße deutscher Studentis. [Hier](https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/pradadata/master/data-raw/wo_men.csv) findet sich dazu ein Datensatz. Ausgehend von der Annahme, dass sich die Körpergröße normalverteilt (innerhalb eines Geschlechts) suchen wir die Parameter der Normalverteilung, also Mittelwert und Streuung. Gehen wir von folgenden Apriori-Wahrscheinlichkeiten für die Parameter der Normalverteilung aus: - Mittelwert: 150cm bis 200 cm, jeder Wert gleich plausibel, alle anderen Werte unmöglich - SD: 1cm bis 20cm, jeder Wert gleich plausibel, alle anderen Werte unmöglich Ja, das sind ziemlich einfältige Annahmen, aber gut, fangen wir damit an. Erstellen Sie eine Bayes-Box! Hinweise: - Untersuchen Sie den angegebenen Parameterbereich in 1cm-Schritten. - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung ```{r} library(pradadata) # für den Datensatz `wo_men` library(prada) # für bayesbox, alternativ mit `source` library(tidyverse) library(ggpubr) ``` Daten importieren: ```{r} data(wo_men) ``` Mittelwert in der Stichprobe: ```{r} wo_men |> group_by(sex) |> summarise(height_avg = mean(height, na.rm = TRUE), height_sd = sd(height, na.rm = TRUE)) ``` Zur Berechnung der Likelihoods *diskretisieren* wir die stetige Variable `height` in Stufen von jeweils 1cm, der Einfachheit halber. Die Wahrscheinlichkeit für das 1cm-Intervall um unserem Stichprobenergebnis herem (182.5cm bis 183.5cm), bei z.B. einem Mittelwert von 180cm und einer SD von 10cm, entspricht dann dieser Differenz: ```{r} obere_grenze <- pnorm(q = 183 + 0.5, mean = 180, sd = 10) untere_grenze <- pnorm(q = 183 - 0.5, mean = 180, sd = 10) obere_grenze untere_grenze obere_grenze - untere_grenze ``` Visualisieren wir uns kurz dieses Intervall. ```{r} library(mosaic) xpnorm(q = c(182.5, 183.5), mean = 180, sd = 10) ``` Als nächstes legen wir die Werte für unsere Bayes-Box fest. ```{r} norm_mean <- seq(from = 150, to = 200, by = 1) norm_sd <- seq(from = 1, to = 20, by = 1) ``` Jetzt bauen wir unsere Bayes-Box. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Parameter für alle Kombinationen aus `r length(norm_mean)` Mittelwerten und `r length(norm_sd)` SD-Werten prüfen wollen, wird die Tabelle ganz schön lang: ```{r} anzahl_kombinationen <- length(norm_mean) * length(norm_sd) anzahl_kombinationen ``` Mit `expand_grid` kann man sich eine Tabelle erstellen lassen, die alle Kombinationen zweier Variablen aufschreibt: ```{r} bayes_box <- expand_grid(norm_mean, norm_sd) head(bayes_box) ``` Das sind unsere Parameterwerte: Jede Kombination eines Mittelwerts und einer Streuung ist eine Hypothese. Insgesamt haben wir also `r nrow(bayes_box)` Parameterwerte. So, bauen wir die Bayes-Box weiter: ```{r} L <- pnorm(183.5, mean = bayes_box$norm_mean, sd = bayes_box$norm_sd) bayes_box2 <- bayes_box |> mutate(hyp = 1:anzahl_kombinationen, lik = L, post_unstand = hyp * lik, post_std = post_unstand / sum(post_unstand)) ``` Schauen wir uns die Post-Verteilung einmal an: ```{r} ggline(bayes_box2, x = "hyp", y = "post_std") ``` Ohje! Da stimmt was nicht! Warum sieht die Post-Verteilung so komisch aus? Die Antwort ist, dass für einen bestimmten Mittelwert jeweils 10 verschiedene SD-Werte zugeordnet sind. Und jeder SD-Wert (für einen MW-Wert) hat eine andere Post-Wahrscheinlichkeit! Was wir machen können, ist die beiden Parameter MW und SD einzeln aufzuschlüsseln, aber gemeinsam zu betrachten: ```{r} bayes_box2 |> ggplot() + aes(x = norm_sd, y = norm_mean, fill = post_std) + geom_tile() + scale_fill_viridis_c() ``` --- Categories: - 2023 - bayes - bayesbox - string