diamonds-nullhyp-mws

bayes

regression

nullhypothesis

Published

December 15, 2022

Exercise

Betrachten Sie folgende Ausgabe eines Bayesmodells, das mit rstanarm “gefittet” wurde:

Parameter    |  Median |              95% CI |     pd |  Rhat |     ESS |                       Prior
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
(Intercept)  | 4354.87 | [ 4169.07, 4547.04] |   100% | 1.001 | 1217.00 | Normal (3932.80 +- 9973.60)
cutGood      | -426.02 | [ -648.68, -208.69] |   100% | 1.001 | 1425.00 |   Normal (0.00 +- 34685.38)
cutIdeal     | -896.54 | [-1099.03, -704.16] |   100% | 1.001 | 1239.00 |   Normal (0.00 +- 20362.28)
cutPremium   |  231.20 | [   26.53,  435.01] | 98.75% | 1.001 | 1292.00 |   Normal (0.00 +- 22862.49)
cutVery Good | -371.85 | [ -575.61, -174.49] |   100% | 1.001 | 1237.00 |   Normal (0.00 +- 23922.15)

Welche Aussage passt (am besten)?

Hinweise:

Mit “Nullhypothese” ist im Folgenden dieser Ausdruck gemeint: $\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k$.
Gehen Sie davon aus, dass die Posteriori-Verteilungen der Regressionskoeffizienten normalverteilt sind.
Beziehen Sie sich bei den Antworten auf die oben dargestellten Daten.

Answerlist

Die Nullhypothese ist (sicher) falsch.
Die Nullhypothese ist (sicher) wahr.
Man kann schließen, dass beim Parameter von cutGood der Wert Null außerhalb des 95%-PI der Posteriori-Verteilung liegt.
Man kann schließen, dass alle Parameter positiv sind.

Solution

Probieren geht über Studieren:

Parameter	Median	95% CI	pd	Rhat	ESS	Prior
(Intercept)	4357.10	(4163.48, 4549.00)	100%	1.002	1306	Normal (3932.80 +- 9973.60)
cutGood	-427.20	(-648.34, -204.05)	100%	1.002	1417	Normal (0.00 +- 34685.38)
cutIdeal	-898.81	(-1099.14, -701.90)	100%	1.002	1313	Normal (0.00 +- 20362.28)
cutPremium	227.09	(24.00, 430.03)	98.67%	1.002	1283	Normal (0.00 +- 22862.49)
cutVery Good	-376.00	(-578.22, -171.87)	100%	1.002	1387	Normal (0.00 +- 23922.15)

Anmerkungen:

Streng logisch betrachtet ist die Aussage “Die Nullhypothese ist sicher falsch” und “Die Nullhypothese ist falsch” in diesem Kontext vermutlich gleichwertig. Würde man aber sagen: “Auf Basis der Datenlage ist die Nullhypothese zu verwerfen”, wäre der Aussage zuzustimmen. Postuliert eine Nulllhypothese die Gleichheit von z.B. 5 Werten, so ist die Hypothese schon dann falsifiziert, wenn sich nur ein Wert von den anderen (vieren) unterscheidet. Wir verstehen dabei unter “unterscheidet” sich, dass sich die Null nicht im 95%-KI des Unterschieds zwischen zwei Werten befindet.

Answerlist

Falsch. Streng genommen können wir nicht ganz sicher sein, ob eine Hypothese auf Basis eines Modells richtig oder falsch ist.
Falsch. Streng genommen können wir nicht ganz sicher sein, ob eine Hypothese auf Basis eines Modells richtig oder falsch ist.
Richtig. Mittelwert plus/minus 2 SD-Einheiten gibt bei einer Normalverteilung das 95%-ETI an.
Falsch. cutGood hat z.B. negative Werte in seinem 95%-ETI der Postverteilung.

Categories:

bayes
regression
null

--- exname: diamonds-nullhpy-mws extype: schoice exsolution: 8 exshuffle: no categories: - bayes - regression - nullhypothesis date: '2022-12-15' title: diamonds-nullhyp-mws --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = FALSE, message = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Exercise Betrachten Sie folgende Ausgabe eines Bayesmodells, das mit `rstanarm` "gefittet" wurde: ``` Parameter | Median | 95% CI | pd | Rhat | ESS | Prior ----------------------------------------------------------------------------------------------------- (Intercept) | 4354.87 | [ 4169.07, 4547.04] | 100% | 1.001 | 1217.00 | Normal (3932.80 +- 9973.60) cutGood | -426.02 | [ -648.68, -208.69] | 100% | 1.001 | 1425.00 | Normal (0.00 +- 34685.38) cutIdeal | -896.54 | [-1099.03, -704.16] | 100% | 1.001 | 1239.00 | Normal (0.00 +- 20362.28) cutPremium | 231.20 | [ 26.53, 435.01] | 98.75% | 1.001 | 1292.00 | Normal (0.00 +- 22862.49) cutVery Good | -371.85 | [ -575.61, -174.49] | 100% | 1.001 | 1237.00 | Normal (0.00 +- 23922.15) ``` Welche Aussage passt (am besten)? Hinweise: - Mit "Nullhypothese" ist im Folgenden dieser Ausdruck gemeint: $\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k$. - Gehen Sie davon aus, dass die Posteriori-Verteilungen der Regressionskoeffizienten normalverteilt sind. - Beziehen Sie sich bei den Antworten auf die oben dargestellten Daten. Answerlist ---------- * Die Nullhypothese ist (sicher) falsch. * Die Nullhypothese ist (sicher) wahr. * Man kann schließen, dass beim Parameter von `cutGood` der Wert Null außerhalb des 95%-PI der Posteriori-Verteilung liegt. * Man kann schließen, dass alle Parameter positiv sind. # Solution Probieren geht über Studieren: ```{r read-data} #| message: false library(rstanarm) library(tidyverse) library(easystats) diamonds_path <- "https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/ggplot2/diamonds.csv" d <- data_read(diamonds_path) ``` ```{r m1} m1 <- stan_glm(price ~ cut, seed = 42, refresh = 0, data = d) ``` ```{r echo=FALSE} parameters(m1) |> print_md() plot(parameters(m1)) ``` Anmerkungen: Streng logisch betrachtet ist die Aussage "Die Nullhypothese ist sicher falsch" und "Die Nullhypothese ist falsch" in diesem Kontext vermutlich gleichwertig. Würde man aber sagen: "Auf Basis der Datenlage ist die Nullhypothese zu verwerfen", wäre der Aussage zuzustimmen. Postuliert eine Nulllhypothese die Gleichheit von z.B. 5 Werten, so ist die Hypothese schon dann falsifiziert, wenn sich nur ein Wert von den anderen (vieren) unterscheidet. Wir verstehen dabei unter "unterscheidet" sich, dass sich die Null nicht im 95%-KI des Unterschieds zwischen zwei Werten befindet. Answerlist ---------- * Falsch. Streng genommen können wir nicht *ganz* sicher sein, ob eine Hypothese auf Basis eines Modells richtig oder falsch ist. * Falsch. Streng genommen können wir nicht *ganz* sicher sein, ob eine Hypothese auf Basis eines Modells richtig oder falsch ist. * Richtig. Mittelwert plus/minus 2 SD-Einheiten gibt bei einer Normalverteilung das 95%-ETI an. * Falsch. `cutGood` hat z.B. negative Werte in seinem 95%-ETI der Postverteilung. --- Categories: - bayes - regression - null