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probability

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Wir haben eine Münze $n=10$ Mal geworfen. Unsere Daten ($D$) sind: 8 Mal lag “Kopf” oben. Gegeben dieser Datenlage, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $F$ (Falschspieler-Münze), dass die Münze also gezinkt ist auf $p=.8$? Apriori sind wir indifferent, ob die Münze gezinkt ist oder nicht ($\neg F$, also $p=.5$). Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass es nur zwei Zustände für die Münze geben kann, gezinkt ($F$) oder nicht gezinkt ($\neg F$).

Aufgabe: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze gezinkt ist ($F$), gegeben der Datenlage $D$!

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze gezinkt ist, gegeben der beobachteten Daten: $Pr(F|D)$.

p_gezinkt = .8
p_fair = .5
n = 10
k = 8

Wir können Bayes’ Theorem zur Lösung nutzen:

$Pr(F|D) = \frac{L \times Priori}{Evidenz} = \frac{Pr(D|F) Pr(F)}{Pr(D)} = \frac{Pr(D|F) Pr(F)}{Pr(D|F)Pr(F) + {Pr(D|\neg F)Pr(\neg F)}}$

Die Priori-Wahrscheinlichkeit für die Hypothese, dass die Münze gezinkt ist, beträgt 1/2, da wir indifferent sind: $Pr(F) = 1/2$.

Die Likelihood, L, für die Hypothese einer gezinkten Münze, berechnet sich so:

L_gezinkt <- dbinom(x = k, size = n, prob = p_gezinkt)
L_gezinkt

[1] 0.3019899

Der Zähler des Bruchs (unstand. Post) berechnet sich so:

Post_unstand <- L_gezinkt * 1/2
Post_unstand

[1] 0.1509949

Die Likelihood für die Daten, wenn die Münze fair (nicht gezinkt ist), beträgt:

L_fair <- dbinom(x = k, size = n, prob = p_fair)
L_fair

[1] 0.04394531

Die unstand. Post-Wahrscheinlichkeit für die Hypothese, dass die Münze fair ist, gegeben der Daten:

Post_unstand2 <- L_fair * 1/2
Post_unstand2

[1] 0.02197266

Die Evidenz, E, berechnet sich als Summe aller unstand. Post-Wahrscheinlichkeiten (also über alle möglichen Hypothesen, d.h. $F$ und $\neg F$, also $L$ plus $L_2$):

E <- Post_unstand + Post_unstand2
E

[1] 0.1729676

Die standardisierte Post-Wahrscheinlichkeit ist also die unstand. Post-Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Evidenz:

Post_std <- Post_unstand / E
Post_std

[1] 0.8729666

Antwort: Die Lösung beträgt 0.87.

Alternativ zur Formel kann man auch eine Bayesbox verwenden, um die Aufgabe zu lösen.

library(prada)
bayesbox(hyps = c("fair", "gezinkt"),
         priors = c(1/2, 1/2),
         liks = c(L_fair, L_gezinkt))

hyps	priors	liks	post_unstand	post_std
fair	0.5	0.0439453	0.0219727	0.1270334
gezinkt	0.5	0.3019899	0.1509949	0.8729666

Übrigens würde sich die standardisierte Posteriori-Verteilung nicht ändern, wenn man als Priori bei den beiden Hypothesen jeweils 1 annehmen würden.

Die Likelihood für die Binomialverteilung kann man auch mit dem Taschenrechner (oder im Kopf…) berechnen: gi Likelihood für die Daten unter der Annahme einer gezinkten Münze:

choose(n, k) * p_gezinkt^k * (1-p_gezinkt)^(n-k)

[1] 0.3019899

Likelihood für die Daten unter der Annahme einer fairen Münze:

choose(n, (n-k)) * p_fair^(n-k) * (1-p_fair)^(k)

[1] 0.04394531

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R
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--- exname: bayes2 extype: num exsolution: r exams::fmt(sol) exshuffle: no extol: 0.02 expoints: 1 categories: - R - bayes - probability - num date: '2023-11-08' slug: bayes2 title: bayes2 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, # ECHO IS TRUE!!! message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Wir haben eine Münze $n=10$ Mal geworfen. Unsere Daten ($D$) sind: 8 Mal lag "Kopf" oben. Gegeben dieser Datenlage, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $F$ (*F*alschspieler-Münze), dass die Münze also gezinkt ist auf $p=.8$? Apriori sind wir indifferent, ob die Münze gezinkt ist oder nicht ($\neg F$, also $p=.5$). Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass es nur zwei Zustände für die Münze geben kann, gezinkt ($F$) oder nicht gezinkt ($\neg F$). *Aufgabe*: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze gezinkt ist ($F$), gegeben der Datenlage $D$! Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze gezinkt ist, gegeben der beobachteten Daten: $Pr(F|D)$. ```{r} p_gezinkt = .8 p_fair = .5 n = 10 k = 8 ``` Wir können Bayes' Theorem zur Lösung nutzen: $Pr(F|D) = \frac{L \times Priori}{Evidenz} = \frac{Pr(D|F) Pr(F)}{Pr(D)} = \frac{Pr(D|F) Pr(F)}{Pr(D|F)Pr(F) + {Pr(D|\neg F)Pr(\neg F)}}$ Die Priori-Wahrscheinlichkeit für die Hypothese, dass die Münze *gezinkt* ist, beträgt 1/2, da wir indifferent sind: $Pr(F) = 1/2$. Die Likelihood, L, für die Hypothese einer *gezinkten* Münze, berechnet sich so: ```{r} L_gezinkt <- dbinom(x = k, size = n, prob = p_gezinkt) L_gezinkt ``` Der Zähler des Bruchs (unstand. Post) berechnet sich so: ```{r} Post_unstand <- L_gezinkt * 1/2 Post_unstand ``` Die Likelihood für die Daten, wenn die Münze *fair* (nicht gezinkt ist), beträgt: ```{r} L_fair <- dbinom(x = k, size = n, prob = p_fair) L_fair ``` Die unstand. Post-Wahrscheinlichkeit für die Hypothese, dass die Münze fair ist, gegeben der Daten: ```{r} Post_unstand2 <- L_fair * 1/2 Post_unstand2 ``` Die Evidenz, E, berechnet sich als Summe aller unstand. Post-Wahrscheinlichkeiten (also über alle möglichen Hypothesen, d.h. $F$ und $\neg F$, also $L$ plus $L_2$): ```{r} E <- Post_unstand + Post_unstand2 E ``` Die standardisierte Post-Wahrscheinlichkeit ist also die unstand. Post-Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Evidenz: ```{r} Post_std <- Post_unstand / E Post_std ``` ```{r} #| echo: false sol <- Post_std |> round(2) ``` *Antwort*: Die Lösung beträgt ``r sol``. Alternativ zur Formel kann man auch eine Bayesbox verwenden, um die Aufgabe zu lösen. ```{r} library(prada) bayesbox(hyps = c("fair", "gezinkt"), priors = c(1/2, 1/2), liks = c(L_fair, L_gezinkt)) ``` Übrigens würde sich die standardisierte Posteriori-Verteilung nicht ändern, wenn man als Priori bei den beiden Hypothesen jeweils 1 annehmen würden. Die Likelihood für die Binomialverteilung kann man auch mit dem Taschenrechner (oder im Kopf...) berechnen: gi Likelihood für die Daten unter der Annahme einer *gezinkten* Münze: ```{r} choose(n, k) * p_gezinkt^k * (1-p_gezinkt)^(n-k) ``` Likelihood für die Daten unter der Annahme einer *fairen* Münze: ```{r} choose(n, (n-k)) * p_fair^(n-k) * (1-p_fair)^(k) ``` --- Categories: - R - bayes - probability - num