bath42

quiz

probability

bayes

num

qm2

qm2-pruefung2023

Published

November 8, 2023

Aufgabe

p <- .9
k <- 6
wasser_erde <- .7
wasser_bath42 <- .9
n <- 9

Mehrere Proben werden zu einem unbekannten Planeten geschossen. Die Forschungsfrage lautet: Ist es die Erde 0.7 oder der Planet “Bath42” mit 0.9 Wasseranteil?

Wir sind indifferent (apriori) zu den Parameterwerten.

Daten: 6 Treffer (Wasser) von 9 Versuchen (Proben).

Behauptung: “Das ist fast sicher Bath42!”.

Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um Bath42 handelt (und nicht um die Erde)?

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Da wir indifferent apriori sind, ist der Parameterwert mit der höchsten Likelihood am wahrscheinlichsten. Der höchsten Likelihood hat der Parameter, der gleich den Daten ist. Das ist:

k/n

[1] 0.6666667

Schauen wir uns die Likelihoods für alle Parameterwerte $0, 0.1, 0.2, \ldots, 1$ an.

Hier ist eine Sequenz dieser Parameterwerte:

parameterwerte <- seq(0, 1, by = .1)
parameterwerte

 [1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Und hier sind die zugehörigen Likelihoods:

library(tidyverse)

likelihoods <-
  tibble(
    parameterwerte = parameterwerte,
    likelihoods = dbinom(x = k, size = n, prob = parameterwerte))

likelihoods

parameterwerte	likelihoods
0.0	0.0000000
0.1	0.0000612
0.2	0.0027525
0.3	0.0210039
0.4	0.0743178
0.5	0.1640625
0.6	0.2508227
0.7	0.2668279
0.8	0.1761608
0.9	0.0446410
1.0	0.0000000

Wie man sieht, hat der Parameterwert, der den Daten am nächsten kommt, die höchste Likelihood.

Die Post-Wahrscheinlichkeit können in gewohnter Manier mit Bayes’ Theorem berechnen. Vielleicht am einfachsten mit der Bayes-Box.

Eine Funktion, die die Bayes-Box berechnet, kann man sich so importieren:

# devtools::install_github("https://github.com/sebastiansauer/prada")  installieren
library(prada)

Oder so:

source("https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/prada/master/R/NAME_bayesbox.R")

Unsere Informationen sind:

p_Erde <- .5
p_Bath42 <- .5
Lik_Erde <- dbinom(x = k, size = n, prob = wasser_erde)
Lik_Bath42 <- dbinom(x = k, size = n, prob = wasser_bath42)

bb <- bayesbox(hyps = c("Erde", "Bath42"), 
               priors = 1, 
               liks = c(Lik_Erde, Lik_Bath42),
               round = 2)
bb

hyps	priors	liks	post_unstand	post_std
Erde	1	0.27	0.27	0.87
Bath42	1	0.04	0.04	0.13

Falsch. Die Daten sprechen eher für die Erde.

Answerlist

Falsch
Wahr

Categories:

quiz
probability
bayes
num

--- exname: bath42 extype: num exsolution: 0.39 extol: 0.02 exshuffle: no categories: - quiz - probability - bayes - num - qm2 - qm2-pruefung2023 date: '2023-11-08' slug: bath42 title: bath42 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, # ECHO IS FALSE!!! message = FALSE, fig.show = "hold") ``` ```{r} #| include: false library(ggpubr) ``` # Aufgabe ```{r} p <- .9 k <- 6 wasser_erde <- .7 wasser_bath42 <- .9 n <- 9 ``` Mehrere Proben werden zu einem unbekannten Planeten geschossen. Die Forschungsfrage lautet: Ist es die Erde `r wasser_erde` oder der Planet "Bath42" mit `r wasser_bath42` Wasseranteil? Wir sind indifferent (apriori) zu den Parameterwerten. Daten: `r k` Treffer (Wasser) von `r n` Versuchen (Proben). Behauptung: "Das ist fast sicher Bath42!". Aufgabe: *Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um Bath42 handelt (und nicht um die Erde)?* Hinweise: - Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). # Lösung Da wir indifferent apriori sind, ist der Parameterwert mit der höchsten Likelihood am wahrscheinlichsten. Der höchsten Likelihood hat der Parameter, der gleich den Daten ist. Das ist: ```{r} k/n ``` Schauen wir uns die Likelihoods für alle Parameterwerte $0, 0.1, 0.2, \ldots, 1$ an. Hier ist eine *Seq*uenz dieser Parameterwerte: ```{r} parameterwerte <- seq(0, 1, by = .1) parameterwerte ``` Und hier sind die zugehörigen Likelihoods: ```{r} library(tidyverse) likelihoods <- tibble( parameterwerte = parameterwerte, likelihoods = dbinom(x = k, size = n, prob = parameterwerte)) likelihoods ``` Wie man sieht, hat der Parameterwert, der den Daten am nächsten kommt, die höchste Likelihood. Die Post-Wahrscheinlichkeit können in gewohnter Manier mit Bayes' Theorem berechnen. Vielleicht am einfachsten mit der Bayes-Box. Eine Funktion, die die Bayes-Box berechnet, kann man sich so importieren: ```{r} # devtools::install_github("https://github.com/sebastiansauer/prada") installieren library(prada) ``` Oder so: ```{r} source("https://raw.githubusercontent.com/sebastiansauer/prada/master/R/NAME_bayesbox.R") ``` Unsere Informationen sind: ```{r} p_Erde <- .5 p_Bath42 <- .5 Lik_Erde <- dbinom(x = k, size = n, prob = wasser_erde) Lik_Bath42 <- dbinom(x = k, size = n, prob = wasser_bath42) ``` ```{r} bb <- bayesbox(hyps = c("Erde", "Bath42"), priors = 1, liks = c(Lik_Erde, Lik_Bath42), round = 2) bb ``` Falsch. Die Daten sprechen eher für die Erde. ```{r} #| echo: false #| fig-asp: .618 ggbarplot(bb, title = "Posteriorwahrscheinlichkeiten", x = "hyps", y = "post_std", label = TRUE, xlab = "Hypothesen", ylab = "Wahrscheinlichkeiten") ``` Answerlist ---------- * *Falsch* * Wahr --- Categories: - quiz - probability - bayes - num