alphafehler-inflation4

probability

inference

string

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Eine Klettererin verwendet ein Seil, dass eine Sicherheit von $r=.99$ hat: mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% reißt das Seil. Jetzt knüpft sie mehrere dieser Seile (hintereinander, Seil an Seil) zusammen zu einem “Gesamtseil”. Wie groß ist die Gefahr, dass das „Gesamtseil“ reist?

Hinweise:

Etwaige (physikalisch plausible) Verringerung der Zugfestigkeit durch (Seilbiegung aufgrund der) Knoten ist zu vernachlässigen.
Unterstellen Sie Unabhängkeit der einzelnen Ereignisse.
Wie immer, beachten sie die übrigen Hinweise des Datenwerks.

Betrachten wir mehrere Fälle:

Sie knüpft 2 zusammen.
Sie knüpft 5 zusammen.
Sie knüpft 10 zusammen.
Sie knüpft 20 zusammen.

Lösung

Sei $R$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtseil hält (nicht reißt). $1-R$ ist dann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: das Gesamtseil reißt.

Allgemein ist $R$ bei k Tests gleich r hoch k: $R=r^k$. (Das Aufaddieren der Fehlalarm-Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Alphafehler-Inflation.)

library(tidyverse)
r <- .99
R2 <- r^2 %>% round(2)  # Auf 2 Dezimalen runden
R5  <- r^5  %>% round(2)
R10 <- r^10  %>% round(2)
R20 <- r^20  %>% round(2)

Die Gesamtsicherheiten lauten also:

R2

[1] 0.98

R5

[1] 0.95

R10

[1] 0.9

R20

[1] 0.82

Die Seilriss-Gefahr ist dann:

1 - R2

[1] 0.02

1 - R5

[1] 0.05

1 - R10

[1] 0.1

1 - R20

[1] 0.18

Vertiefung

Betrachten wir abschließend aus Neugier die Wahrscheinlichkeit, dass die Klettererin abstürzt ($1-R$) als Funktion der Anzahl der Seie.

Diese Überlegung ist etwas weiterführender und nicht ganz so zentral, aber ziemlich interessant.

Definieren wir die Parameter:

anz_seile <- 1:20  # von 1 bis max 20 Seile
r <- c(.9, .95, .99, .999)  # verschiedene Seil-Sicherheiten

Jetzt erstellen wir einen Tabelle, die alle anz_seile * r Werte kombiniert:

d <- 
  expand_grid(anz_seile, r)

head(d)

# A tibble: 6 × 2
  anz_seile     r
      <int> <dbl>
1         1 0.9  
2         1 0.95 
3         1 0.99 
4         1 0.999
5         2 0.9  
6         2 0.95

Jetzt berechnen wir für jede Kombination die Gesamtsicherheit R sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil reißt, $1-R$:

d <-
  d %>% 
  mutate(R = r^anz_seile,
         seil_reisst_prob = 1 - R)

Und plotten das Ganze mit dem Paket ggpubr:

library(ggpubr)
d <-
  d |> 
  mutate(r_fctr = factor(r))  # um "r" zum Gruppieren zu verwenden, sollte es eine nominale Variable sein, daher wandeln wir mit "factor" in eine nominale Variable um.

ggline(d,
       x = "anz_seile",
       y = "seil_reisst_prob",
       color = "r_fctr",
       linetype = "r_fctr",
       group = "r_fctr") +
  labs(color = "Reißfestigkeit",
       linetype = "Reißfestigkeit")

Oder mit ggplot plotten:

d %>% 
  ggplot(aes(x = anz_seile,
             y = seil_reisst_prob,
             color = factor(r))) +
  geom_line() +
  labs(color = "Reißfestigkeit")

Hat ein Seil eine Sicherheit von 90%, dann will man nicht dranhängen, wenn 20 Seile zusammengeknotet sind!

Antworten:

$R_2 = r\cdot r = r^2 = 0.98$
$R_5 = r^5 = 0.95$
$R_{10}= r^{10} = 0.9$
$R_{20}= r^{20} = 0.82$

Categories:

probability
R
inference
string

--- extype: string exsolution: r paste0(R2,R5,R10,R20) exname: alphafehler-inflation4 extol: 0.02 categories: - probability - R - inference - string date: '2023-11-08' slug: alphafehler-inflation4 title: alphafehler-inflation4 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, fig.show = "hold") library(tidyverse) ``` # Aufgabe Eine Klettererin verwendet ein Seil, dass eine Sicherheit von $r=.99$ hat: mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% reißt das Seil. Jetzt knüpft sie mehrere dieser Seile (hintereinander, Seil an Seil) zusammen zu einem "Gesamtseil". Wie groß ist die Gefahr, dass das „Gesamtseil“ reist? Hinweise: - Etwaige (physikalisch plausible) Verringerung der Zugfestigkeit durch (Seilbiegung aufgrund der) Knoten ist zu vernachlässigen. - Unterstellen Sie Unabhängkeit der einzelnen Ereignisse. - Wie immer, beachten sie die übrigen [Hinweise des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). Betrachten wir mehrere Fälle: * Sie knüpft 2 zusammen. * Sie knüpft 5 zusammen. * Sie knüpft 10 zusammen. * Sie knüpft 20 zusammen. # Lösung Sei $R$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtseil hält (nicht reißt). $1-R$ ist dann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: das Gesamtseil reißt. Allgemein ist $R$ bei k Tests gleich r hoch k: $R=r^k$. (Das Aufaddieren der Fehlalarm-Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Alphafehler-Inflation.) ```{r echo = TRUE} library(tidyverse) r <- .99 R2 <- r^2 %>% round(2) # Auf 2 Dezimalen runden R5 <- r^5 %>% round(2) R10 <- r^10 %>% round(2) R20 <- r^20 %>% round(2) ``` Die Gesamtsicherheiten lauten also: ```{r} R2 R5 R10 R20 ``` Die Seilriss-Gefahr ist dann: ```{r} 1 - R2 1 - R5 1 - R10 1 - R20 ``` # Vertiefung Betrachten wir abschließend aus Neugier die Wahrscheinlichkeit, dass die Klettererin abstürzt ($1-R$) als Funktion der Anzahl der Seie. Diese Überlegung ist etwas weiterführender und nicht ganz so zentral, aber ziemlich interessant. Definieren wir die Parameter: ```{r echo = TRUE} anz_seile <- 1:20 # von 1 bis max 20 Seile r <- c(.9, .95, .99, .999) # verschiedene Seil-Sicherheiten ``` Jetzt erstellen wir einen Tabelle, die alle `anz_seile * r` Werte kombiniert: ```{r} d <- expand_grid(anz_seile, r) head(d) ``` Jetzt berechnen wir für jede Kombination die Gesamtsicherheit `R` sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil reißt, $1-R$: ```{r} d <- d %>% mutate(R = r^anz_seile, seil_reisst_prob = 1 - R) ``` Und plotten das Ganze mit dem Paket `ggpubr`: ```{r} library(ggpubr) d <- d |> mutate(r_fctr = factor(r)) # um "r" zum Gruppieren zu verwenden, sollte es eine nominale Variable sein, daher wandeln wir mit "factor" in eine nominale Variable um. ggline(d, x = "anz_seile", y = "seil_reisst_prob", color = "r_fctr", linetype = "r_fctr", group = "r_fctr") + labs(color = "Reißfestigkeit", linetype = "Reißfestigkeit") ``` Oder mit `ggplot` plotten: ```{r} d %>% ggplot(aes(x = anz_seile, y = seil_reisst_prob, color = factor(r))) + geom_line() + labs(color = "Reißfestigkeit") ``` Hat ein Seil eine Sicherheit von 90%, dann will man nicht dranhängen, wenn 20 Seile zusammengeknotet sind! Antworten: * $R_2 = r\cdot r = r^2 = `r R2`$ * $R_5 = r^5 = `r R5`$ * $R_{10}= r^{10} = `r R10`$ * $R_{20}= r^{20} = `r R20`$ --- Categories: - probability - R - inference - string