Rethink2m3

probability

bayes

rethink-chap2

string

Published

November 8, 2023

Aufgabe

This question is taken from McElreath, R. (2020). Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan (2. Ed.). Taylor and Francis, CRC Press.

2M3. Suppose there are two globes, one for Earth and one for Mars. The Earth globe is 70% covered in water. The Mars globe is 100% land. Further suppose that one of these globes—you don’t know which—was tossed in the air and produced a “land” observatiion. Assume that each globe was equally likely to be tossed. Show that the posterior probability that the globe was the Earth, conditional on seeing “land” (Pr(Earth|land)), is 0.23.

Lösung

Man kann die Aufgabe entweder mit einer Bayes-Box lösen oder durch die Formel des Bayes’ Theorem.

Bayes-Box

Hyp	Prior	L	Po-unstand	Po-stand
E	1	3/10	.3	3/13 (.77)
M	1	10/10	1	10/13 (.23)

Bayes-Theorem

Zur Erinnerung:

\[\begin{aligned} Pr(A) &= Pr(A \cap B) + Pr(A \cap B^C) \qquad \text{| totale Wskt, bei disjunkten Ereignissen}\\ Pr(A \cap B) &= Pr(A|B) \cdot Pr(B)\\ Pr(A \cap B^C) &= Pr(A|B^C) \cdot Pr(B^C) \end{aligned}\]

Wobei $A^C$ das komplementäre Ereignis zu $A$ meint.

The solution is taken from this source.

Hier sind die gegebenen Infos:

# probability of land, given Earth:
p_le <- 0.3

# probability of land, given Mars:
p_lm <- 1.0

# probability of Earth:
p_e <- 0.5

# prob. of Mars:
p_m <- 0.5

Hier sind die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten:

Wahrscheinlichkeit, dass es die Erde ist und Land geworfen wurde: $Pr(Earth \cap Land)$

# probability of land and Earth:
p_l_and_e <- p_e * p_le
p_l_and_e

[1] 0.15

Wahrscheinlichkeit, dass es Mars ist und Land geworfen wurde: $Pr(Mars \cap Land)$

# proability of land and Mars:
p_l_and_m <- p_m * p_lm
p_l_and_m

[1] 0.5

Die totale Wahrscheinlichkeit für Land beträgt also:

# probability of land:
p_l <- p_l_and_e  + p_l_and_m
p_l

[1] 0.65

Im Zähler von Bayes-Theorem steht dann: p_l_and_e und im Nenner p_l.

Dann kann man die Posteriori-Wahrscheinlichkeit für Land berechnen:

# probability of Earth, given land (using Bayes' Theorem):
p_el <- p_l_and_e / p_l
p_el

[1] 0.2307692

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Erde geworfen wurde, beträgt also 3/13 oder 0.23.

Einfacher als die Rechnung ist vielleicht ein Baumdiagramm:

Insgesamt kann man also 3/20 + 10/20 = 13/20 als Wahrscheinlichkeit für Land berechnen. Davon entfallen 3/20 auf die Erde. Das ergibt 3/13.

Categories:

probability
bayes
rethink-chap2
string

--- extype: string exsolution: NA exname: rethink2m3 expoints: 1 categories: - probability - bayes - rethink-chap2 - string date: '2023-11-08' slug: Rethink2m3 title: Rethink2m3 --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", message = FALSE, warning = FALSE, out.width = "100%", cache = TRUE) ``` # Aufgabe This question is taken from McElreath, R. (2020). *Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan* (2. Ed.). Taylor and Francis, CRC Press. 2M3. Suppose there are two globes, one for Earth and one for Mars. The Earth globe is 70% covered in water. The Mars globe is 100% land. Further suppose that one of these globes—you don’t know which—was tossed in the air and produced a “land” observatiion. Assume that each globe was equally likely to be tossed. Show that the posterior probability that the globe was the Earth, conditional on seeing “land” (Pr(Earth|land)), is 0.23. # Lösung Man kann die Aufgabe entweder mit einer Bayes-Box lösen oder durch die Formel des Bayes' Theorem. # Bayes-Box | Hyp | Prior | L | Po-unstand | Po-stand | |-----|-------|----|------------|-------| | E | 1 | 3/10 | .3 | 3/13 (.77) | | M | 1 | 10/10 | 1 | 10/13 (.23) | # Bayes-Theorem Zur Erinnerung: $$\begin{aligned} Pr(A) &= Pr(A \cap B) + Pr(A \cap B^C) \qquad \text{| totale Wskt, bei disjunkten Ereignissen}\\ Pr(A \cap B) &= Pr(A|B) \cdot Pr(B)\\ Pr(A \cap B^C) &= Pr(A|B^C) \cdot Pr(B^C) \end{aligned}$$ Wobei $A^C$ das komplementäre Ereignis zu $A$ meint. The solution is taken from [this source](https://sr2-solutions.wjakethompson.com/bayesian-inference.html). Hier sind die gegebenen Infos: ```{r} # probability of land, given Earth: p_le <- 0.3 # probability of land, given Mars: p_lm <- 1.0 # probability of Earth: p_e <- 0.5 # prob. of Mars: p_m <- 0.5 ``` Hier sind die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten: 1. Wahrscheinlichkeit, dass es die Erde ist und Land geworfen wurde: $Pr(Earth \cap Land)$ ```{r} # probability of land and Earth: p_l_and_e <- p_e * p_le p_l_and_e ``` 2. Wahrscheinlichkeit, dass es Mars ist und Land geworfen wurde: $Pr(Mars \cap Land)$ ```{r} # proability of land and Mars: p_l_and_m <- p_m * p_lm p_l_and_m ``` Die totale Wahrscheinlichkeit für Land beträgt also: ```{r} # probability of land: p_l <- p_l_and_e + p_l_and_m p_l ``` Im Zähler von Bayes-Theorem steht dann: `p_l_and_e` und im Nenner `p_l`. Dann kann man die Posteriori-Wahrscheinlichkeit für Land berechnen: ```{r} # probability of Earth, given land (using Bayes' Theorem): p_el <- p_l_and_e / p_l p_el ``` Die Wahrscheinlichkeit, dass die Erde geworfen wurde, beträgt also 3/13 oder 0.23. Einfacher als die Rechnung ist vielleicht ein Baumdiagramm: ```{r, echo = FALSE} DiagrammeR::mermaid("graph LR A[Start] -->|1/2|B[Erde] A -->|1/2|C[Mars] B -->|7/10|D[Wasser geg. Erde] B -->|3/10|E[Land geg. Erde] D --- H[Fazit: 7/20] E --- I[Fazit: 3/20] C -->|1|F[Land geg. Mars] C -->|0|G[Wasser geg. Mars] F --- J[Fazit: 1/2] G --- K[Fazit: 0]") ``` Insgesamt kann man also 3/20 + 10/20 = 13/20 als Wahrscheinlichkeit für Land berechnen. Davon entfallen 3/20 auf die Erde. Das ergibt 3/13. --- Categories: - probability - bayes - rethink-chap2 - string