ReThink3m4

bayes

ppv

probability

string

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Nehmen wir an, wir haben 8 (Wasser-)“Treffer” ($W=8$) bei 15 Würfen ($N=15$) erhalten (wieder im Globusversuch).

Berechnen Sie auf Basis dieser Posteriori-Verteilung (8 Treffer bei 15 Würfen) die Wahrscheinlichkeit für 6 Wasser bei 9 Würfen ($W=6, N=9$).

Hinweise:

Berechnen Sie eine Bayes-Box (Gittermethode).
Verwenden Sie 1000 Gitterwerte.
Fixieren Sie die Zufallszahlen mit dem Startwert 42, d.h. set.seed(42).
Gehen Sie von einem gleichverteilten Prior aus.

Quelle: McElreath, R. (2020). Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press.

Lösung

Erstellen wir zuerst wieder die Posteriori-Verteilung für den Globusversuch.

p_grid <- seq( from=0 , to=1 , length.out=1000 )  # Gitterwerte

prior <- rep( 1 , 1000 )  # Priori-Gewichte

set.seed(42)
likelihood <- dbinom( 6 , size=9 , prob=p_grid ) 

unstandardisierte_posterior <- likelihood * prior 

posterior <- unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior)

Dann ziehen wir unsere Stichproben daraus:

# um die Zufallszahlen festzulegen, damit alle die gleichen Zufallswerte bekommen: 
set.seed(42) 

# Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung
samples <- 
  tibble(
    p = sample( p_grid , prob=posterior, size=1e4, replace=TRUE))

Jetzt erstellen wir die PPV für einen anderen Versuch, nämlich mit 9 Zügen:

PPV <-
  samples %>% 
  mutate(anzahl_wasser2 = rbinom(1e4, size = 9, prob = p))

Schließlich zählen wir, wie oft 6 Treffer beobachtet werden:

PPV %>% 
  count(anzahl_wasser2 == 6)

# A tibble: 2 × 2
  `anzahl_wasser2 == 6`     n
  <lgl>                 <int>
1 FALSE                  7972
2 TRUE                   2028

Quelle

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--- extype: string exsolution: NA exname: rethink3m4 expoints: 1 categories: - bayes - ppv - probability - string date: '2023-11-08' slug: ReThink3m4 title: ReThink3m4 --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) library(gt) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, echo = TRUE, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", message = FALSE, warning = FALSE, out.width = "50%", cache = TRUE) ``` # Aufgabe Nehmen wir an, wir haben 8 (Wasser-)"Treffer" ($W=8$) bei 15 Würfen ($N=15$) erhalten (wieder im Globusversuch). Berechnen Sie auf Basis dieser Posteriori-Verteilung (8 Treffer bei 15 Würfen) die Wahrscheinlichkeit für 6 Wasser bei 9 Würfen ($W=6, N=9$). Hinweise: - Berechnen Sie eine Bayes-Box (Gittermethode). - Verwenden Sie 1000 Gitterwerte. - Fixieren Sie die Zufallszahlen mit dem Startwert 42, d.h. `set.seed(42)`. - Gehen Sie von einem gleichverteilten Prior aus. *Quelle*: McElreath, R. (2020). *Statistical rethinking: A Bayesian course with examples in R and Stan* (2. Aufl.). Taylor and Francis, CRC Press. # Lösung Erstellen wir zuerst wieder die Posteriori-Verteilung für den Globusversuch. ```{r} p_grid <- seq( from=0 , to=1 , length.out=1000 ) # Gitterwerte prior <- rep( 1 , 1000 ) # Priori-Gewichte set.seed(42) likelihood <- dbinom( 6 , size=9 , prob=p_grid ) unstandardisierte_posterior <- likelihood * prior posterior <- unstandardisierte_posterior / sum(unstandardisierte_posterior) ``` Dann ziehen wir unsere Stichproben daraus: ```{r} # um die Zufallszahlen festzulegen, damit alle die gleichen Zufallswerte bekommen: set.seed(42) # Stichproben ziehen aus der Posteriori-Verteilung samples <- tibble( p = sample( p_grid , prob=posterior, size=1e4, replace=TRUE)) ``` Jetzt erstellen wir die PPV für einen *anderen* Versuch, nämlich mit 9 Zügen: ```{r} PPV <- samples %>% mutate(anzahl_wasser2 = rbinom(1e4, size = 9, prob = p)) ``` Schließlich zählen wir, wie oft 6 Treffer beobachtet werden: ```{r} PPV %>% count(anzahl_wasser2 == 6) ``` [Quelle](https://sr2-solutions.wjakethompson.com/bayesian-inference.html#chapter-3) --- Categories: - bayes - ppv - probability - string