Krebs1

bayes

probability

num

bayesbox

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Ein Krebstest ($T$) habe die Wahrscheinlichkeit von 0.9, einen vorhandenen Krebs ($K$) zu erkennen. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir als $Pr(T+|K+)$. Der Test erkennt also die meisten Krebsfälle, und ein paar werden übersehen.

Manchmal macht der Test auch den umgekehrten Fehler: Ein gesunder Mensch wird fälschlich Krebs diagnostiziert, $Pr(T+|K-)$. Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei dem Test bei 0.1, zum Glück also relativ gering.

Die Grundrate dieser Krebsart belaufe sich in der Population auf 0.01, $Pr(K+)$.

Aufgabe: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient tatsächlich Krebs hat, wenn der Test positiv ist, also Krebs diagnostiziert hat!

Lösung

Hier kann man Bayes Theorem anwenden:

$Pr(K|T) = \frac{Pr(K) \cdot Pr(T|K) }{Pr(T)}$.

zaehler_bayes <- Pr_Kpos * Pr_Tpos_geg_Kpos
zaehler_bayes

[1] 0.009

Pr_T <- (zaehler_bayes + (1-Pr_Kpos) * Pr_Tpos_geg_Kneg)
Pr_T

[1] 0.108

sol <- Pr_Kpos_geg_Tpos <- zaehler_bayes / Pr_T 
sol <- round(sol, 2)
sol

[1] 0.08

Die Lösung beträgt also: 0.08.

Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung:

flowchart LR
  S[1000 Personen] --> K[Krebs: 10]
  S --> NK[Nicht-Krebs: 990]
  K --> T[Test positiv: 9]
  K --> NT[Nicht Test positiv: 1]
  NK --> TNK[Test positiv: 99]
  NK --> NTNK[Nicht Test positiv: 891]

Man kann die Aufgabe auch mit dem Baumdiagramm lösen:

Es erhalten 108=99+9 Personen ein positives Testergebnis. Davon haben 9 tatsächlich Krebs. Also: $Pr(K+|T+) = \frac{9}{108} = 0.0833$.

Alternativ kann man auch mit der Bayesbox arbeiten:

Hypothese	Prior	Likelihood	Post_unstand	Evidenz	Post
K	.01	.9	.009	.108	.083
NK	.99	.1	.099	.108	.092

K: Krebs NK: Nicht-Krebs

Die Likelihood für die Hypothese $K$ (die Hypothese, dass Krebs vorliegt) ist definiert als $Pr(D|H)=.9$. Hier entspricht der positive Krebstest den Daten. Die Likelihood für die Hypothese $NK$ (die Hypothese, dass kein Krebs vorliegt) ist definiert als $Pr(D|\neg H)=.9$. Hier entspricht der negative Krebstest den Daten.

Die unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit entspricht dem Produkt aus Likelihood und Prior: $Pr(D|H) \cdot Pr(H)=.009$ bzw. $.099$.

Die Evidenz ist die Summe der Posterior-Wahrscheinlichkeiten multipliziert mit den jeweiligen Priors: $Pr(D)=.108$.

Die Post-Wahrscheinlichkeit ist die durch die Evidenz dividierte unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit: $Pr(H|D)=.083$ bzw. $.092$.

Categories:

bayes
probability
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--- extype: num exsolution: r sol exname: Krebs1 expoints: 1 categories: - bayes - probability - num - bayesbox date: '2023-11-08' slug: Krebs1 title: Krebs1 --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) library(exams) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = FALSE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold", # out.width = "100%", cache = TRUE) ``` ```{r} Pr_Tpos_geg_Kpos <- .9 # Wskt für Test positiv geg. Krebs ist positiv (tatsächlich Krebs) Pr_Tpos_geg_Kneg <- .1 Pr_Kpos <- .01 ``` # Aufgabe Ein Krebstest ($T$) habe die Wahrscheinlichkeit von ``r Pr_Tpos_geg_Kpos``, einen vorhandenen Krebs ($K$) zu erkennen. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir als $Pr(T+|K+)$. Der Test erkennt also die meisten Krebsfälle, und ein paar werden übersehen. Manchmal macht der Test auch den umgekehrten Fehler: Ein gesunder Mensch wird fälschlich Krebs diagnostiziert, $Pr(T+|K-)$. Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei dem Test bei ``r Pr_Tpos_geg_Kneg``, zum Glück also relativ gering. Die Grundrate dieser Krebsart belaufe sich in der Population auf ``r Pr_Kpos``, $Pr(K+)$. *Aufgabe*: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient tatsächlich Krebs hat, wenn der Test positiv ist, also Krebs diagnostiziert hat! # Lösung Hier kann man Bayes Theorem anwenden: $Pr(K|T) = \frac{Pr(K) \cdot Pr(T|K) }{Pr(T)}$. ```{r echo = TRUE} zaehler_bayes <- Pr_Kpos * Pr_Tpos_geg_Kpos zaehler_bayes Pr_T <- (zaehler_bayes + (1-Pr_Kpos) * Pr_Tpos_geg_Kneg) Pr_T sol <- Pr_Kpos_geg_Tpos <- zaehler_bayes / Pr_T sol <- round(sol, 2) sol ``` Die Lösung beträgt also: ``r sol``. Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung: ```{mermaid} flowchart LR S[1000 Personen] --> K[Krebs: 10] S --> NK[Nicht-Krebs: 990] K --> T[Test positiv: 9] K --> NT[Nicht Test positiv: 1] NK --> TNK[Test positiv: 99] NK --> NTNK[Nicht Test positiv: 891] ``` Man kann die Aufgabe auch mit dem Baumdiagramm lösen: Es erhalten 108=99+9 Personen ein positives Testergebnis. Davon haben 9 tatsächlich Krebs. Also: $Pr(K+|T+) = \frac{9}{108} = 0.0833$. Alternativ kann man auch mit der Bayesbox arbeiten: | Hypothese | Prior | Likelihood | Post_unstand | Evidenz | Post | |----------- |------- |------------ |-------------- |--------- |------ | | K | .01 | .9 | .009 | .108 | .083 | | NK | .99 | .1 | .099 | .108 | .092 | K: Krebs NK: Nicht-Krebs Die Likelihood für die Hypothese $K$ (die Hypothese, dass Krebs vorliegt) ist definiert als $Pr(D|H)=.9$. Hier entspricht der positive Krebstest den Daten. Die Likelihood für die Hypothese $NK$ (die Hypothese, dass *kein* Krebs vorliegt) ist definiert als $Pr(D|\neg H)=.9$. Hier entspricht der negative Krebstest den Daten. Die unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit entspricht dem Produkt aus Likelihood und Prior: $Pr(D|H) \cdot Pr(H)=.009$ bzw. $.099$. Die Evidenz ist die Summe der Posterior-Wahrscheinlichkeiten multipliziert mit den jeweiligen Priors: $Pr(D)=.108$. Die Post-Wahrscheinlichkeit ist die durch die Evidenz dividierte unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit: $Pr(H|D)=.083$ bzw. $.092$. --- Categories: - bayes - probability - num